עצמות נפייר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התקני חישוב ברבדולוגיה
עצמות נפייר
Promptuary
אריתמטיקת מיקום

עצמות נפייר הוא כינוי לחשבונייה אשר הומצאה על ידי ג'ון נפייר על מנת לחשב מכפלות ומנות של מספרים. כינוי נוסף לחשבוניה הוא רבדולוגיה (ביוונית ραβδoς רבדוס הוא מוט והמשמעות של λóγoς היא מילה). נפייר פרסם את המצאתו בעבודה שהודפסה באדינבורו שבסקוטלנד בסוף שנת 1617. במוטות הוטבעו טבלאות כפל אשר צמצמו פעולות כפל לפעולות חיבור ופעולות חילוק לפעולות חיסור. המוטות מאפשרים גם חישוב שורש ריבועי. ראוי להדגיש שהמונח עצמות נפייר אינו זהה למונח לוגריתם, למרות העובדה ששמו של נפייר נקשר גם בו.

החשבונייה מורכבת מלוח התחום במסגרת. המשתמש מניח את מוטות נפייר בתוך המסגרת על מנת לבצע כפל או חילוק. הקצה השמאלי של הלוח מחולק ל 9 ריבועים הממוספרים מ 1 עד 9. מוטות נפייר מורכבים מרצועות עץ או מתכת. עצמות נפייר הם ריבוע תלת ממדי. אוסף של "עצמות" כאלו עשוי להיטמן באריזה נוחה לנשיאה.

Bones of Napier (board and rods).png

המשטח של מוט מורכב מ 9 ריבועים. כל ריבוע מורכב משני חצאים המופרדים בקו אלכסוני. הריבוע הראשון של כל מוט מחזיק ספרה יחידה. הריבועים הנותרים מחזיקים מספרים שהם פי 2,3 עד 9 מהמספר המקורי. הספרות של כל מכפלה כתובות בכל צד של האלכסון. מספרים קטנים מ 10 תופסים את המשולש התחתון ואפס תופס את המשולש העליון. אוסף מורכב מ-9 מוטות הממוספרים מ-1 עד 9. האיור מראה גם את מוט 0 אולם מוט זה אינו הכרחי לביצוע חישובים.

כפל[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן האוסף המתואר של המוטות. נניח שברצוננו לחשב את מכפלת 46,785,399 ו־7. יש להניח על הלוח את המוטות שמתייחסים ל-46,785,399 כפי שניתן לראות באיור ולקרוא את התוצאה מהרצועה האופקית בשורה 7 שמספרה מופיע בצד הלוח. על מנת להפיק את המכפלה, יש לשים לב, עבור כל מקום מימין לשמאל, אילו מספרים נמצאו על ידי הוספת ספרות בחלקים האלכסוניים של הרצועה (תוך שימוש בנשא היכן שהסכום הוא 10 או יותר).

Napier-example-1.png

אם נתבונן באיור מימין לשמאל, ספרת האחדות היא (3) (האלכסון הראשון מכיל 3 בלבד), ספרת העשרות היא (6+3=9) (שכן האלכסון השני מכיל את הספרות 6 ו-3), ספרת המאות היא (6+1=7) וכך הלאה. יש לשים לב שבמיקום של ספרת המאות אלפים, היכן ש-5+9=14 אנו מותירים את הספרה 4 ואת הנשא 1 אנו מעבירים לחיבור הבא (נבצע דבר דומה עבור ספרת העשרה מיליון עבורה מתקיים 4+8=12).

עבור מקרים בהם אחד הגורמים בכפל הוא 0, מותירים רווח בין המוטות במקום שבו היה צריך להיות מונח מוט מספר 0. נניח לעת עתה שאנו מעוניינים להכפיל את המספר 46,785,399 ב-96,431. כמו במקרה שהוצג לעיל נכפול את המספר 46,785,399 קודם ב-9 אחר כך ב-6, 4, 3 ו-1. לאחר מכן נמקם את המכפלות במקומות מתאימים ונסכם אותן ב"שיטת נייר ועפרון" רגילה.

Napier example 2.png

שיטה זו יכולה לשמש גם בכפל של מספרים עשרוניים. עבור ערך עשרוני המוכפל בשלם יש לוודא שהערך העשרוני יכתב לאורך החלק העליון של השבכה. ממיקום זה הנקודה העשרונית פשוט "נופלת" לאורך הקו האנכי לתוך התשובה.

כאשר כופלים שני מספרים עשרוניים זה בזה, הנקודות העשרוניות נעות אופקית ואנכית עד שנפגשות בקו אלכסוני. הנקודה אז נעה החוצה מהשבכה ושוב "נופלת" לתוך התשובה.

חילוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

חילוק יכול להתבצע באותו אופן. נחלק 46,785,399 ב־96,431. נניח את המוטות של המחלק (96431) על הלוח כפי שמומחש באיור שלהלן. באמצעות החשבונייה, נמצא את כל המכפלות של המחלק עם הספרות 1 עד 9 על ידי קריאת המספרים המוצגים. יש לשים לב שהמחולק בעל 8 ספרות בעוד שלמכפלות שהתקבלו על ידי כפל בספרות 1 עד 9 יש תמיד 6 ספרות (למעט המכפלה הראשונה בספרה 1). זו הסיבה שיש באופן זמני לקטום את הספרות "99" שב-46,785,399 כך שיוותר המספר 467853. כעת, יש למצוא את אחת מ־9 המכפלות הגדולה ביותר שהיא קטנה מהמחלק הקטום. במקרה זה, המכפלה היא 385,724. כפי שניתן להבחין באיור שלהלן: מאחר ש־385,724 מצוי בשורה 4 של החשבונייה, נסמן "4" כספרה השמאלית ביותר של המנה. בנוסף יש לרשום את המכפלה שנבחרה (385,724), בישור לשמאל, מתחת למחלק המקורי ואז לחסר את שני הגורמים. ההפרש המתקבל הוא 8,212,999. יש לחזור על הצעדים שלעיל: קטימת המספר ל-6 ספרות, בחירת מכפלה גדולה ביותר קטנה מהמספר הקטום, כתיבת ספרת השורה כספרה הבאה של המנה ולבסוף הפחתת המכפלה הנבחרת מההפרש שנמצא בצעד הראשון. מעקב אחר האיור יבהיר את הצעדים המתבקשים. יש לחזור על הצעדים עד אשר תוצאת ההפרש קטנה מהמחלק. המספר הנותר הוא השארית.

Napier-example-3.png

בדוגמה שלעיל התקבלה המנה 485 (שכן נעשה שימוש במכפלות של שורות 4,8,5) ושארית 16,364. ניתן לעצור כאן ולהשתמש בצורה השברית של התשובה 485\frac{16,364}{96,431}.

מציאת שורש ריבועי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מציאת השורש הריבועי עושה שימוש בעצם נוספת שנראית מעט שונה מהיתר שכן היא מכילה 3 עמודות. העמודה הראשונה בעלת 9 ריבועים 1, 4, 9, ... 64, 81, העמודה השנייה מכילה מספרים זוגיים 2 עד 18 והעמודה האחרונה מכילה מספרים מ 1 עד 9.

עצמות נפייר עם עצם השורש הריבועי
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0/1 0/2 0/3 0/4 0/5 0/6 0/7 0/8 0/9 0/1     2   1
2 0/2 0/4 0/6 0/8 1/0 1/2 1/4 1/6 1/8 0/4     4   2
3 0/3 0/6 0/9 1/2 1/5 1/8 2/1 2/4 2/7 0/9     6   3
4 0/4 0/8 1/2 1/6 2/0 2/4 2/8 3/2 3/6 1/6     8   4
5 0/5 1/0 1/5 2/0 2/5 3/0 3/5 4/0 4/5 2/5   10   5
6 0/6 1/2 1/8 2/4 3/0 3/6 4/2 4/8 5/4 3/6   12   6
7 0/7 1/4 2/1 2/8 3/5 4/2 4/9 5/6 6/3 4/9   14   7
8 0/8 1/6 2/4 3/2 4/0 4/8 5/6 6/4 7/2 6/4   16   8
9 0/9 1/8 2/7 3/6 4/5 5/4 6/3 7/2 8/1 8/1   18   9

נמצא כעת את השורש הריבועי של 46,785,399 בעזרת העצמות. ראשית, נקבץ את הספרות בזוגות החל מימין כך שנקבל: 99 53 78 46‏[1].

לאחר מכן יש לקחת את הזוג השמאלי ביותר 46. יש לבחור את הריבוע הגדול ביותר על עצם השורש הריבועי אשר עדיין קטן מ-46. זהו המספר 36 מהשורה השישית.

מאחר שהשורה השישית נבחרה, הספרה הראשונה בפתרון היא 6. קריאת העמודה השנייה מהשורה השישית על עצם השורש הריבועי גוררת הצבת 12 על הלוח. כעת יש להפחית את הערך 36 בעמודה הראשונה מ-46. לזה נצרף את הזוג הבא של הספרות שהוא המספר 78. כך תתקבל השארית 1,078. בסוף שלב זה, הלוח וחישובי הביניים יראו כך:

  1 2
1 0/1 0/2 0/1     2   1
2 0/2 0/4 0/4     4   2
3 0/3 0/6 0/9     6   3
4 0/4 0/8 1/6     8   4
5 0/5 1/0 2/5   10   5
6 0/6 1/2 3/6   12   6
7 0/7 1/4 4/9   14   7
8 0/8 1/6 6/4   16   8
9 0/9 1/8 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    6
         36
         --
         10 78

כעת יש לקרוא את המספר בכל שורה (תוך התעלמות מהעמודות השנייה והשלישית בעצם השורש הריבועי). למשל, את השורה השישית יש לקרוא כך:

0/6 1/2 3/6 → 756

כעת יש למצוא את המספר הגדול ביותר הקטן מהשארית הנוכחית 1,078. ניתן להיווכח ש-1,024 מהשורה השמינית הוא הערך הגדול ביותר שעדיין קטן מ-1,078.

  1 2 (ערך)
1 0/1 0/2 0/1     2   1 121
2 0/2 0/4 0/4     4   2 244
3 0/3 0/6 0/9     6   3 369
4 0/4 0/8 1/6     8   4 496
5 0/5 1/0 2/5   10   5 625
6 0/6 1/2 3/6   12   6 756
7 0/7 1/4 4/9   14   7 889
8 0/8 1/6 6/4   16   8 1024
9 0/9 1/8 8/1   18   9 1161
         _____________
        √46 78 53 99    =    68
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54

כמו קודם, יש לצרף 8 כדי לקבל את הספרה הבאה של השורש הריבועי, ולהחסיר את הערך 1,024 של השורה השמינית מהשארית הנוכחית 1,078 כדי לקבל 54. יש לקרוא את העמודה השנייה של השורה השמינית, 16, ולמקם מספר על הלוח על פי ההנחיות הבאות. המספר הנוכחי על הלוח הוא 12. יש להוסיף לו את הספרה הראשונה של 16 ולצרף את הספרה השנייה של 16 לתוצאה. לכן יש למקם על הלוח: 12 + 1 = 13 → צרף 6 → 136

הלוח וחישובי הביניים נראים כעת כך.

  1 3 6
1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    68
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53

כעת שוב, יש למצוא שורה עם הערך הגדול ביותר שעדיין קטן מהשארית 5,453. הפעם, זוהי השורה השלישית המכילה את הערך 4,089.

  1 3 6  
1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 1361
2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 2724
3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4089
4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5456
5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6825
6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 8196
7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 9569
8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 10944
9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9 12321
         _____________
        √46 78 53 99    =    683
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64

הספרה הבאה של השורש הריבועי היא 3. יש לחזור על אותם צעדים כמו קודם ולחסר 4,089 מהשארית הנוכחית 5,453 על מנת לקבל 1,364 כשארית הבאה. כאשר מסדרים מחדש את הלוח, יש לשים לב שהעמודה השנייה של השורש הריבועי היא 6, ספרה בודדת. לכן יש לצרף 6 למספר הנוכחי 136 שמצוי על גבי הלוח. 136 → צירוף 6 → 1,366 כך מתקבל המספר 1,366.

  1 3 6 6
1 0/1 0/3 0/6 0/6 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 1/2 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 1/8 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 2/4 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 3/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 3/6 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/2 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 4/8 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 5/4 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    683
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99

יש לחזור על הפעולות פעם נוספת. הערך המקסימלי על הלוח כעת אשר קטן מהשארית הנוכחית של 136,499 הוא 123,021 מהשורה התשיעית.

הלכה למעשה, לרוב אין צורך למצוא את הערך של כל שורה על מנת למצוא תשובה. ניתן לנחש באיזו שורה תהיה התשובה על ידי הסתכלות במספר שנמצא על העצמות הראשונות בלוח והשוואתו עם הספרות הראשונות של התוצאה. אולם בדיאגרמות אלה, מוצגים הערכים של כל השורות למען הבהירות. כדבר שבשיגרה, נצרף 9 לתוצאה ונפחית 123,021 מהשארית הנוכחית.

  1 3 6 6  
1 0/1 0/3 0/6 0/6 0/1     2   1 13661
2 0/2 0/6 1/2 1/2 0/4     4   2 27324
3 0/3 0/9 1/8 1/8 0/9     6   3 40989
4 0/4 1/2 2/4 2/4 1/6     8   4 54656
5 0/5 1/5 3/0 3/0 2/5   10   5 68325
6 0/6 1/8 3/6 3/6 3/6   12   6 81996
7 0/7 2/1 4/2 4/2 4/9   14   7 95669
8 0/8 2/4 4/8 4/8 6/4   16   8 109344
9 0/9 2/7 5/4 5/4 8/1   18   9 123021
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78

כעת השתמשנו בכל הספרות של המספר שלנו, אך עדיין קיימת שארית. המשמעות היא שקיבלנו את החלק השלם של השורש אך עדיין יש חלק שברי. יש להבחין בכך שאם באמת קיבלנו את החלק השלם של השורש, התוצא הנוכחית בריבוע (6,8392 = 46,771,921) חייבת להיות הריבוע הגדול ביותר שעדיין קטן מהמספר 46,785,399.

הרעיון הזה משמש לאחר מכן להבנה כיצד פועלת השיטה, אך לעת עתה נמשיך לייצר ספרות נוספות של השורש.

כעת נחבר שני אפסים לשארית כדי לקבל שארית חדשה של 1,347,800. העמודה השנייה בשורה התשיעית של עצם הריבוע מכילה את הערך 18 והמספר הנוכחי על הלוח הוא 1,366. לכן נחשב : 1,366 + 1 → 1,367 → הוסף 8 → 13,678 ונציב 13,678 על גבי הלוח. הלוח וחישובי הביניים כעת נראים כך :

  1 3 6 7 8
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00

השורה התשיעית מכילה 1,231,101 וזהו הערך הגבוה ביותר שעדיין קטן מהשארית ולכן הספרה הראשונה של החלק השברי של השורש היא 9.

  1 3 6 7 8  
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1 136781
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2 273564
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3 410349
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4 547136
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5 683925
6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6 820716
7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7 957509
8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8 1094304
9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9 1231101
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.9
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00
             1 23 11 01
             ----------
               11 66 99

יש לחסר את הערך של השורה התשיעית מהשארית ולרפד באפסים כדי לקבל שארית חדשה שערכה 11,669,900. העמודה השנייה בשורה התשיעית מכילה 18 עם הערך 13,678 על גבי הלוח לכן יש לחשב :

13,678 + 1 → 13,679 → הוסף 8 → 136,798

ולהציב 136,798 על גבי הלוח.

  1 3 6 7 9 8
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/9 0/8 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/8 1/6 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/7 2/4 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/6 3/2 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/5 4/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 4/2 5/4 4/8 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/9 6/3 5/6 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 5/6 7/2 6/4 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 6/3 8/1 7/2 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.9
         36
         --
         10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00
             1 23 11 01
             ----------
               11 66 99 00

ניתן להמשיך בצעדים אלה על מנת למצוא מספר ספרות כרצוננו. יש לעצור כאשר הושג הדיוק הרצוי או לחלופין כאשר השארית היא אפס ואז המשמעות היא שהשגנו את השורש הריבועי המדויק. קיימת תחבולה נוספת שיש לתאר. אם נרצה למצוא את השורש של מספר שאינו שלם, למשל 54,782.917. הכול זהה, למעט העובדה שיש להתחיל על ידי קיבוץ כל הספרות משמאל ומימין לנקודה העשרונית בזוגות. כלומר יש לקבץ את 54,782.917 כך: 7 91. 82 47 5 ואז יש למצוא את השורש הריבועי מתוך זוגות אלה.

שינויים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Napier Modification.png

במהלך המאה ה-19, עצמות נפייר עברו שינוי על מנת שיהיו קלים לקריאה. המוטות החלו להיבנות בזווית של 65° כך שהמשולשים שאותם היה צורך לחבר היו מיושרים אנכית. במקרה זה, בכל ריבוע במוט, ספרת האחדות ממוקמת מימין וספרת העשרות (או ספרת האפס) ממוקמת משמאל. המוטות נבנו כך שהקווים האנכיים והאופקיים היו גלויים יותר מקו המפגש של המוטות. כך שני הרכיבים של כל ספרה בתוצאה היו קריאים יותר. ניתן להיווכח באיור עד כמה ברור ש: 987654321 כפול 5 = 4938271605.

חשבונייה העושה שימוש בכרטיסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף לחשבוניית ה"עצמות" שתוארה לעיל, נפייר גם בנה חשבוניית כרטיסים. חשבוניות אלו מקובצות בהתקן שמצוי במוזיאון הארכאולוגיה הלאומי של ספרד. ההתקן הוא קופסה מהודרת עשויה עץ משובץ בעצם. באזור העליון ההתקן מכיל חשבוניית "עצמות" ובחלק התחתון מצויה חשבוניית הכרטיסים. החשבונייה האחרונה מכילה 300 כרטיסים ב-30 מגירות. 100 כרטיסים מוטבעים במספרים. ה-200 הנותרים מאפשרים למשתמש לראות רק מספרים מסוימים. על ידי סידור הכרטיסים ניתן לבצע הכפלות אפילו למספרים באורך 100 ספרות עם מספרים בני 200 ספרות.

בנוסף, דלתות הקופסה מכילות את החזקות הראשונות של הספרות, המקדמים של מקדמי החזקות הראשונות של הבינום ואת הנתונים המספריים של הפאון הרגולרי.

לא ברור מי היה יוצר הקופסה ואם היא ממקור ספרדי או שהגיעה ממקום אחר. סביר שבמקור היא השתייכה לאקדמיה הספרדית למתמטיקה או שהייתה מתנה מהנסיך מוויילס. הדבר היחיד שוודאי הוא שהקופסה נשמרה בארמון. משם היא הועברה לספריה הלאומית של ספרד ומאוחר יותר למוזיאון הארכאולוגיה הלאומי שם היא שמורה עד היום.

בשנת 1876, הממשלה הספרדית שלחה את ההתקן לתערוכה של התקנים מדעיים, שנערכה בקנסינגטון, שם עוררה הקופסה תשומת לב רבה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מספר כמו 85,399 יקובץ כך: 99 53 8, ולכן חשוב להתחיל מימין