פאון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
היטל תלת ממדי של פאון ארבע-ממדי בן 1860 קודקודים ו- 5340 צלעות

פֵּאוֹן (או ביוונית: פוליהדרון, באנגלית: Polyhedron) הוא גוף תלת ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר, חסום וסגור. המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).

ישנם 5 סוגי פאונים משוכללים (תלת ממדיים), הנקראים גם "פאונים אפלטוניים": טטרהדרון (פירמידה משולשת בעלת 4 פאות משולשות) קובייה (בעלת 6 פאות ריבועיות), אוקטהדרון (בעל 8 פאות משולשות), דודקהדרון (בעל 12 פאות מחומשות) ואיקוסהדרון (בעל 20 פאות משולשות).

קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא הפאונים הארכימדיים. בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).

מנסרה, פירמידה מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות.

טרמינולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטרמינולוגיה המיוחדת לפאונים, כגון האיקוסידודקהדרון הקטום וההקסגון המסותת, היא עניין סבוך ומבלבל. השמות נגזרים בדרך כלל מיוונית ומלטינית, והם נסמכים על הכללים שקבע קפלר, שגילה (מחדש) את הפאונים הארכימדיים ועסק רבות בתחום.

מספר הפאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות. תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.

הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות היווניות, והסיומת הקבועה '-הדרון'. התחיליות החשובות הן דו- (2), טטר- (4), הקס- (6), אוקט- (8), דקה- (10), איקוס- (20), הקטו- (100). כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות. כך למשל דודקהדרון הוא פאון בן 12 פאות, ולאיקוסידודקהדרון יש 20+10+2=32 פאות. הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.

בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים ארבעון (טטרהדרון), תריסרון (=דודקהדרון), עשרימון (איקוסהדרון), וכדומה.

צורת הפאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה הדו-ממדי, המונח "מתומן" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זויותיו שוות. באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים. בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה. כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי. הקובייה, אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.

סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות. למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן מחומשות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים). ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת מעוין (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-). הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת דלתון; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח האנגלי, ולא האמריקאי).

סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת. לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא מנסרה, שהבסיסים שלה מתומנים. ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.

בנייה ושינוי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קובייה קטומה, המתקבלת מקיטום הפינות של קובייה והחלפתן במשולשים.
קובייה מסותתת, המתקבלת מסיתות המקצועות של הקובייה לזוגות של משולשים.

פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים. במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.

הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה. אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "קובייה קיסית", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים). "דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.

המונח קטום (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל. הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה. קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות. גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".

המונח מסותת (snub) מתאר תהליך שבו מוחלף כל מקצוע של הפאון בזוג משולשים. בקוביה המסותתת (משמאל), הפאות הישנות נותרות במקומן, ו-12 המקצועות מוחלפים ב- 24 משולשים משוכללים; גם שמונה הקודקודים הופכים למשולשים. זהו תהליך כיווני, משום שבזמן הוספת המשולשים יש לקבוע לאיזה כיוון יסתובבו הפאות הקיימות; לכן יש שתי צורות לא-חופפות של קובייה מסותתת. סיתות האוקטהדרון, שהוא הפאון הדואלי של הקוביה, מביא לאותה תוצאה: שמונה הקודקודים הופכים לשמונה ריבועים, בעוד ש-12 המקצועות הפכו ל-24 פאות משולשות. מסיבה זו מקובל לקרוא לקוביה המסותתת (שהיא הקסהדרון מסותת, וגם אוקטהדרון מסותת) בשם "קובוקטהדרון מסותת". סיתות הפאונים הדואליים דודקהדרון ואיקוסהדרון מביא גם הוא לאותה צורה, הנקראת איקוסידודקהדרון מסותת. השם "איקוסידודקהדרון" מציין שילוב בין דודקהדרון (12) לאיקוסהדרון (20) הדואליים, ואין לו קשר לפאון בן 32 צלעות, כפי שהשם עלול לרמוז.

פאון מכוכב הוא כזה שבו חלק מהמקצועות (או כולם) נמשכים כלפי חוץ, עד שהם נפגשים פעם נוספת. פאונים כאלה אינם קמורים, כמובן. יש דרכים רבות לככב את אותו פאון (לדוגמה, יש 59 איקוסהדרונים מכוככבים). פאון הוא מוגדל אם עבר תהליך דומה, שבו ממשיכים את הפאות (ולא את המקצועות).

בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט נוגעת לחידות חיתוך והרכבה, והיא מציגה את השאלה האם ניתן להפוך כל פאון לפאון שווה נפח אחר, בעזרת חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה שנה מאוחר יותר (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.

פאון מממד כלשהו[עריכת קוד מקור | עריכה]

מימין: ריבוע - פאון דו-ממדי, קובייה - פאון תלת-ממדי, היפרקובייה ארבע ממדית

המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מפאותאנגלית polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron). שמות הפאונים:

  • דו ממדי: מצולע
  • תלת-ממדי: פאון
  • ארבע ממדי: פאון ארבע ממדי
  • וכך הלאה

נוסחת אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, צלעותיו וקודקודיו של פאון. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר הצלעות ו-F הוא מספר הפאות.‏[1]

בול דואר מזרח גרמני לזכרו של אוילר, ובו נוסחת אוילר
נוסחת אוילר לפאונים משוכללים
פאון V
מספר הקודקודים
F
מספר הפאות
E
מספר הצלעות
V - E + F
ארבעון 4 4 6 2
קובייה 8 6 12 2
תמניון 6 8 12 2
תריסרון 20 12 30 2
עשרימון 12 20 30 2

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ גדי אלכסנדרוביץ', הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל, באתר "לא מדויק"