פונקציה סתומה

במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה, ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. משפט הפונקציה הסתומה מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.

לדוגמה, משוואת המעגל $\ x^2+y^2=1$ מגדירה שתי פונקציות - $\ y = \sqrt{1-x^2}$ ו- $\ y = -\sqrt{1-x^2}$. את הנגזרת של y לפי x אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: $\ 2x+2yy'=0$ ולכן $\ y' = -\frac{x}{y}$.

דוגמאות

עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:

הלמניסקטה של ברנולי

הלמניסקטה של ברנולי

• בקוארדינטות קרטזיות: $\ (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$
• בקוארדינטות פולאריות: $\ r^2=a^2\cos2\theta$

העלה של דקארט

העלה של דקארט

• בקוארדינטות קרטזיות: $\ x^3+y^3=3axy$
• בקוארדינטות פולאריות: $\ r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3a\sin\theta \cos\theta$

השבלול של פסקל

השבלול של פסקל

• בקוארדינטות קרטזיות: $\ (x^2+y^2+ax)^2=b^2(x^2+y^2)$
• בקוארדינטות פולאריות: $\ (r+a\cos\theta)^2=b^2$

הפרח של גראנדי

הפרח של גראנדי (7 עלים)

• בקוארדינטות קרטזיות: $\ (x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2$
• בקוארדינטות פולאריות: $\ r=a\sin2\theta$ או בצורה כללית: $\ r=\cos(n\theta)$

ראו גם

• משפט הפונקציה הסתומה

קישורים חיצוניים

הפרח של גראנדי

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.