פונקציה סתומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה, ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. משפט הפונקציה הסתומה מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.

לדוגמה, משוואת המעגל \ x^2+y^2=1 מגדירה שתי פונקציות - \ y = \sqrt{1-x^2} ו- \ y = -\sqrt{1-x^2}. את הנגזרת של y לפי x אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: \ 2x+2yy'=0 ולכן \ y' = -\frac{x}{y}.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:

הלמניסקטה של ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלמניסקטה של ברנולי
  • בקוארדינטות קרטזיות: \ (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)
  • בקוארדינטות פולאריות: \ r^2=a^2\cos2\theta

העלה של דקארט[עריכת קוד מקור | עריכה]

העלה של דקארט
  • בקוארדינטות קרטזיות: \ x^3+y^3=3axy
  • בקוארדינטות פולאריות: \ r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3a\sin\theta \cos\theta

השבלול של פסקל[עריכת קוד מקור | עריכה]

השבלול של פסקל
  • בקוארדינטות קרטזיות: \ (x^2+y^2+ax)^2=b^2(x^2+y^2)
  • בקוארדינטות פולאריות: \ (r+a\cos\theta)^2=b^2

הפרח של גראנדי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפרח של גראנדי (7 עלים)
  • בקוארדינטות קרטזיות: \ (x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2
  • בקוארדינטות פולאריות: \ r=a\sin2\theta או בצורה כללית: \ r=\cos(n\theta)

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפרח של גראנדי

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.