נגזרת חלקית

בחשבון אינפיניטסימלי, נגזרת חלקית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים. סימן הנגזרת החלקית ∂ הינו האות d המעוגלת, המכונה לעתים "דוֹ‏". סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי $\!\, x_k$ הם $\!\, f_{x_k},f^{'}_{x_k}$ וכן $\ \partial_{x_k} f \ \ , \ \ \partial_{k}f$ כאשר $\ \partial_{x_k}$ הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה $\ x_k$.

הגדרה פורמלית

תהא $f\left(x_1,\dots,x_n\right)$ פונקציה ב$\!\, n$ משתנים. נסמן את הנגזרת החלקית של $\!\, f$ על פי $\!\, x_k$ בעזרת הסימון $\frac{\partial f}{\partial x_k}$, והיא תוגדר כך:

$\frac{\partial}{\partial x_k}f\left(x_1,\dots,x_k,\dots,x_n\right)=\lim_{h\rarr 0}\frac{f\left(x_1,\dots,x_k+h,\dots,x_n\right)-f\left(x_1,\dots,x_k,\dots,x_n\right)}{h}$.

דוגמאות

1. נביט בפונקציה $\!\, f(x,y)=x^y$. אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של $\!\,x$ בלבד, כאשר $\!\,y$ קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של $\!\,y$ ועל $\!\,x$ בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1},\frac{\partial f}{\partial y}=\ln x \cdot x^y$.
2. נביט בפונקציה $\!\, f(x,y)=x$. לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן להביט עליה גם כעל פונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו $\!\,x$. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=1,\frac{\partial f}{\partial y}=0$.

שימושים

באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.

• הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה $\ a$ כלשהי יוגדר כך:

$\operatorname{grad}f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$

• הדיברגנץ של פונקציה וקטורית $\ \vec f$ (ב-Rⁿ) הוא פונקציה (ב-R¹) ההמודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגראדיאנט לפונקציה הווקטורית:

$\ \vec\nabla\cdot\vec f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial{x_i}}$.

• הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:

$\ rotor\left(\vec{F}\right) = \vec{\nabla}\times\vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{y} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{z}$.

ראו גם

• נגזרת
• נגזרת כיוונית
• אנליזה וקטורית
• אינטגרל כפול