פורמליזם (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפורמליזם (בעברית: הצרנה) הוא מתודה מתמטית שמהווה מלבד שיטת עבודה גם פילוסופיה ותפיסה כוללת לגבי מהות המתמטיקה.

הפורמליזם כשיטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפורמליזם כשיטה מתייחס למערכת המשוואות, הנוסחאות, הסימנים וחוקי ההסקה שבאמצעותם תורה מתמטית מביעה את הטענות שלה. לפי שיטה זו, ניתן לתאר אותה על ידי הצרנה שלה (רישומה והצגתה באמצעות סמלים ועצמים של התאוריה) ואז להסיק ממנה מסקנות על ידי הפעלה מכניסטית של כללי הלוגיקה עליה. אף שזו אינה דרך פעולה נוחה להוכחת טענות חדשות, היא יעילה כאמצעי לאישוש נכונותן של טענות קיימות (אם ניתן להצרין את ההוכחות הקיימות עבורן), ולחיפוש מכני של הוכחות חדשות (למשל, באמצעות מחשב).

השימוש הידוע ביותר (לקהל הרחב) בהצרנה הוא הצרנת טענות לוגיות לשם ניתוח המבנה והתוקף שלהן. שיטה זו שימושית במיוחד כדי לטפל בשאלות היגיון במבחנים דוגמת הפסיכומטרי.

דוגמה להצרנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לדוגמה, נראה את שאלת ההגיון הבאה:

"אם ירד גשם, רוני ייקח מטריה." מהי הקביעה השקולה לקביעה הנתונה?
  1. רוני ייקח מטריה.
  2. אם לא ירד גשם, רוני לא יקח מטרייה.
  3. אם לא ירד גשם, רוני יקח מטריה.
  4. אם רוני לא ייקח מטריה, סימן שלא ירד גשם.

התשובה הנכונה, למרות שנשמעת לא הגיונית, היא דווקא 4.

הסבר: אם נסמן את הביטוי "ירד גשם" ב R ואת "רוני יקח מטריה" ב U, אזי ההצרנה של "אם ירד גשם, רוני ייקח מטריה" היא \ R \rightarrow U. כעת נצרין את התשובות:

  1. \ U
  2. \ \lnot R \rightarrow \lnot U
  3. \ \lnot R \rightarrow U
  4. \ \lnot U \rightarrow  \lnot R

מבחינה לוגית, רק 4 שקולה להצהרה המקורית ובפרט היא היחידה שנובעת ממנה. את השקילות הנ"ל אפשר לוודא ישירות באמצעות טבלת אמת.

להסברים מפורטים יותר בנושא זה, ראו בערך תחשיב הפסוקים.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. היפוך סדר הטענות למשל: כל הילדים שותים פטל ל-כל מי ששותה פטל הוא ילד.
  2. הוספת רק או הורדת רק:כל הילדים שותים פטל ל-רק הילדים שותים פטל.
  3. הפיכת טענות לשליליות או לחיוביות: כל הילדים שותים פטל ל- כל מי שלא ילד לא שותה פטל.

אם עשינו שתיים מהפעולות האלו המשפט שקול תרגיל:

כל ספרי המדע הוזלו-טענה מצא את הטענה השקולה לה-

  1. כל מה שהוזל הוא ספרי מדע.
  2. כל מה שלא הוזל אינו ספרי מדע.
  3. רק ספרי מדע הוזלו.
  4. יש ספרים שהוזלו.

יחס טרנזיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם a גורר את b ו-b גורר את c הרי ש-a גורר את c.

התזה האקסיומטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

האסכולה הפורמליסטית אימצה את התזה האקסיומטית של דויד הילברט הטוענת כי המתמטיקה היא הנוסחאות הקונקרטיות עצמן, שהן אוסף עצמים קונקרטיים המהווים אותיות, ולא משמעות כלשהי שנייחס לנוסחאות. כלומר: לעצמי המתמטיקה אין שום משמעות כי הם לא מורים על שום דבר מלבד עצמם. כדי להשיג מצב כזה, פיתח הילברט שיטה של "הגדרה מקופלת" בה העצמים המתמטיים מוגדרים בשלמות על ידי האקסיומות אותן הם מקיימים (ראה למשל: נקודה גאומטרית). כאשר הילברט ניגש לנסח את התזה הזאת הוא הושפע מאוד מעמנואל קאנט ומטרתו הייתה להעניק למתמטיקה ולמשפטיה ודאות מוחלטת ושלמות (כלומר: התורה המתמטית מכילה רק את מה שהמתמטיקאי מכניס לתוכה, כך שהוא יכול להכירה באופן שלם ובלתי אמצעי).

על סמך תזה זו פיתח הילברט מפעל שלם שמטרתו היה לבסס את המתמטיקה במסגרת ההצרנה (פורמליזציה) המלאה שלה וניסוח ריגורוזי ומקיף של האקסיומות העומדות בבסיסה. תוכנית זאת התגלתה כחסרת תוחלת, אחרי שהלוגיקן האוסטרי קורט גדל הוכיח את משפטי האי-שלמות שלו שהוכיחו שאי אפשר לנסח תורה אקסיומטית המכילה את האריתמטיקה שתהיה גם קונסיסטנטית וגם שלמה (כלומר: כל טענה אפשר להוכיח או להפריך במסגרת האקסיומות. או במילים אחרות: לא קיים משפט אמיתי שאי-אפשר להוכיח באמצעות האקסיומות). תגלית זו הנחיתה מכת מוות על התוכנית של הילברט.

למרות שהפורמליזם כשלה כפילוסופיה יסודית ומקיפה, היא פרחה ביותר כשיטת עבודה וכחלק מהתרבות המתמטית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]