אקסיומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מקורה של המילה אקסיומה (גם: אכּסיוֹמה) הוא ביוונית העתיקה (αξιωμα), ופירושה "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה.

במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. טעות נפוצה היא שאקסיומות הן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם אקסיומות אינן מחייבות ניסוח שכזה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תורה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו.

בפיזיקה, אקסיומה או פוסטולט היא הנחה בסיסית אשר נבדקה בניסוי, ולכן מתייחסים אליה כנכונה, כל עוד אותה ההנחה לא הופרכה בניסוי, כלומר לא התבררה כשגויה.

אקסיומות במתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תורה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:

  • עקביות: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו.
  • מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות.

דרישה סבירה נוספת היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. משפט אי השלמות של גדל מוכיח שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.

המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה הביאו ליצירתה של גאומטריה לא אוקלידית. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית.

אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה העשרים עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (האקסיומות של פאנו) ותורת הקבוצות (האקסיומות של צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (האקסיומות של קולמוגורוב).

אקסיומות בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה, הנחת היסוד היא חוק פיזיקלי ממנו מקישים חוקים פיזיקליים נוספים, כלומר בונים תאוריה פיזיקלית. כל עוד תוצאות בניסויים תואמות את מערכת החוקים, נאמר שהתאוריה והנחת היסוד תקפות.

דוגמה בולטת לשימוש באקסיומות בפיזיקה הוא המעבר ההיסטורי בין תורת האתר (שנחשבה לנכונה עד המאה ה-19) לבין תורת היחסות הפרטית (שנחשבת לנכונה כיום על פי תוצאות ניסויים). תורת האתר גרסה שיש חומר הממלא את כל המרחב, והאור נע בו במהירות קבועה. ההנחה הזו נבדקה בניסוי מייקלסון-מורלי והתבררה כשגויה. את ההנחה הזו החליפה ההנחה המקובלת כיום, שהאור נע במהירות קבועה ביחס לכל צופה אינרציאלי. ניסוי מייקלסון-מורלי הפריך הנחה אחת בו בזמן שרמז על ההנחה הנכונה יותר, הנחה שהובילה בסופו של דבר לניסוח תורת היחסות הפרטית על ידי אלברט איינשטיין.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתמטיקה ולוגיקה

פיזיקה