הומולוגיה של מרחב טופולוגי

הומולוגיה היא תחום בטופולוגיה אלגברית העוסק בהתאמה של כמויות, כגון מספרים או חבורות, למבנים טופולוגיים. ליתר דיוק, לכל מרחב טופולוגי מתאימה תורת ההומולוגיה סדרה של חבורות אבליות, $\ H_0(X), H_1(X), H_2(X),\dots$, שכל אחת מהן נושאת מידע מסוים על המרחב X.

אחת הבעיות המרכזיות בטופולוגיה המודרנית היא פיתוח של כלים המפרידים בין מרחבים שונים: דרכים לזהות ששני מרחבים שונים הם אכן שונים זה מזה, גם כאשר הם דומים מאוד בתכונות רבות. מטרה זו מושגת על ידי בנייתם של "אינווריאנטים טופולוגיים", שהם אובייקטים השווים זה לזה כאשר מחשבים אותם בשני מרחבים הומיאומורפיים. חבורות ההומולוגיה הן דוגמה מרכזית לאינווריאנטים כאלה: אם לשני מרחבים יש חבורות הומולוגיה שונות, למשל $\ H_3(X) \neq H_3(Y)$, זוהי ראיה מיידית לכך שהם אינם הומיאומורפיים. למרות המידע הרב שמספקות חבורות ההומולוגיה, הן אינן מזהות באופן מלא את המרחב, וייתכנו מרחבים טופולוגיים שונים בעלי אותן חבורות הומולוגיה.

האינווריאנט הראשון, והפשוט ביותר, הוא הקבוצה $\ H_0(X)$, הסופרת את מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. הגודל הבא, $\ H_1(X)$, קשור לחבורה היסודית של המרחב, אבל נושא פחות אינפומרציה ממנו.

תורת הומולוגיה

הגדרה אלגברית

תורת הומולוגיה היא אוסף של פנקטורים $\ H_n:Top_2\rightarrow Ab$. דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי $(X,A)$ המקיים $A\subseteq X$ חבורה אבלית ומקיימים את התנאים הבאים:

1. הומוטופיה: לכל שתי פונקציות הומוטופיות ולכל n $H_n(f)=H_n(g)\;\Leftarrow \;f\simeq g$
2. סדרה מדויקת: לכל n קיימת פונקציה $\partial_n:H_n(X,A)\rightarrow H_{n-1}(A,\emptyset)$ כך שהסדרה הבאה מדויקת:$\cdots\rightarrow H_n(A,\emptyset)\stackrel{H_n(i)}{\longrightarrow} H_n(X,\emptyset) \stackrel{H_n(j)}{\longrightarrow} H_n(X,A) \stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}H_{n-1}(A,\emptyset)\stackrel{H_{n-1}(i)}{\longrightarrow} H_{n-1}(X,\emptyset)\rightarrow\cdots$ כשהפונקציות: i היא ההכלה מ-A ל-X ו-$j:(X,\emptyset)\rightarrow (X,A)$ מעבירה כל איבר לעצמו.
3. קיצוץ (Excision): אם $Z\subseteq A\subseteq X$ כך ש-$\bar{Z}\subseteq A$ אז ההכלה $(X-Z,A-Z)\hookrightarrow(X,A)$ משרה איזומורפיזם: $H_n(X-Z,A-Z)\cong H_n(X,A)$
4. במרחב נקודתי $H_n(\{p\},\emptyset)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & n\neq 0 \\ \mathbb{Z} & n=0 \end{array}\right.$
5. טבעיות: לכל n ופונקציה של זוגות$\ f:(X,A)\rightarrow(Y,B)$ מתקיים$\ H_{n-1}(f\mid_A)\partial_n=\partial_nH_n(f)$ . בצורה יותר גרפית, הדיאגרמה הבאה מתחלפת:

$\begin{array}{ccc} H_n(X,A) & \stackrel{H_n(f)}{\longrightarrow} & H_n(Y,B) \\ ^{\partial_n} \downarrow & & \downarrow ^{\partial_n} \\ H_{n-1}(A) & \stackrel{H_{n-1}(f\mid_A)}{\longrightarrow} & H_{n-1}(B) \end{array}$

מכאן נגדיר $\ H_n(X)=H_n(X,\emptyset)$, לשם פשטות הסימון.

משפטים בסיסיים

המשפטים הבאים יהיו נכונים בכל תורת הומולוגיה המקיימת את האקסיומות של הסעיף הקודם:

1. לכל מרחב טופולוגי $X$ מתקיים $H_n(X,X)=0$
2. לכל זוג מרחבים טופולוגיים $X,Y$ ההכלות $(X,\emptyset)\stackrel{i_X}{\longrightarrow}(X\coprod Y,\emptyset)\stackrel{i_Y}{\longleftarrow} (Y,\emptyset)$ משרות איזומורפיזם $H_n(X)\oplus H_n(Y)\cong H_n(X\coprod Y)$
3. לכל n $H_n(S^n)=\mathbb{Z}$

הומולוגיה סינגולרית

ההגדרה של הומולוגיה סינגולרית וכל המשפטים התקפים עליה, מאפשרת שני דברים:

1. חישוב של חבורות הומולוגיה רבות.
2. הוכחה שהאקסיומות אינן ריקות וניתן להגדיר אוסף פנקטורים המהווים תורת הומולוגיה.

ההגדרה של הומולוגיה סינגולרית היא כבדה וטכנית, עד שבתחילה לא ברור מדוע ההגדרה טובה וכיצד ניתן לחשב את החבורות שהיא מגדירה. מבחינה אינטואיטיבית, ההומולוגיה הסינגולרית ה-n-ית מודדת את החללים ה-n ממדיים של המרחב. טכנית, דבר זה נעשה באמצעות השוואת כל הדרכים לקפל סימפלקסים (היינו, קטעים, משולשים, פירמידות וכן הלאה), לתוך המרחב. אומרים ששני קיפולים כאלו הם שקולים, אם השפות שלהם משותפות. למשל אפשר לקפל משולש כדי שייצור חצי כדור, ולקפל משולש שני שייצור את החצי השני ולהדביק אותם בקו המשווה. שני קיפולים אלו הם הומולוגים זה לזה, כלומר שקולים.

הגדרה פורמלית

יהי נתון מרחב טופולוגי X.

הסימפלקס ה-n-ממדי מוגדר $\Delta^n:=\{(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=0}^nx_i\leq 1\wedge\forall i,x_i\geq 0\}$. סימפלקס כללי הוא $\ [v_0,\ldots,v_n]:=\{\sum_{i=0}^nx_iv_i\mid \sum_{i=0}^nx_i\leq 1,\forall i\, x_i\geq 0\}$. נסמן $\ [v_0,\ldots,\hat{v_i},\ldots,v_n]$ את הסימפלקס ה(n-1) שמתקבל מלקחת סימפלקס על כל הקואורדינטות מלבד הקואורדינטה ה-i. ניתן לומר שזוהי קבוצת כל הצירופים הקמורים בה המקדם $\ x_i=0$.

נגדיר $\Delta_n(X):=\{\sigma:\Delta^n\rightarrow X\mid \sigma \mbox{ is continuous}\}$. תהי $C_n(X)=\lang\Delta^n(X)\rang$ החבורה האבלית הנוצרת על ידי האוסף הזה. איברי חבורה זו נקראים שרשראות.

נגדיר לכל n פונקציית שפה $\partial_n:C_n(X)\rightarrow C_{n-1}(X)$ על ידי $\partial_n([\sigma]) = \sum_{i=0}^n(-1)^i[\sigma\mid_{e_0,\ldots,\hat{e_i}\ldots,e_n}]$, כלומר נקבל סכום מסומן של הסימפלקסים היוצרים את השפה של הסימפלקס $\ \sigma$.

עכשיו קיבלנו קומפלקס שרשראות של החבורות הנוצרות $\ \cdots\rightarrow C_n(X)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow} C_{n-1}(X)\stackrel{\partial_{n-1}}{\longrightarrow} C_{n-2}(X)\rightarrow\cdots$ וזאת מכיוון שחישוב ישיר יראה לנו שמתקיים התנאי של הקומפלקס, דהיינו: $\ \partial_{n-1}\circ\partial_n\equiv 0$. כלומר, שפה של שפה היא ריקה.

שרשרת ששפתה 0 נקראת מחזור או ציקלוס, מכיוון שהיא מתאימה לרצף מחזורי של קטעים. לדוגמה, המעגל הוא סימפלקס חד ממדי (דהיינו-קטע) שקופל כך שתמונת הקצוות זהה. שפת קטע היא בדיוק קצותיו, כך שלפי הגדרת השפה אנחנו נקבל את תמונת הקצוות עם מקדם 1 ואז את אותה תמונה עם מקדם (1-), כך שהתמונה תתאפס. למי שרוצה נוסחאות יהי $\ \sigma$ ההעתקה שלנו מקטע היחידה למרחב שיוצרת עיגול, ונניח שתמונת הקצוות היא v ונקבל $\ \partial_1(\sigma) = \sigma\mid_1-\sigma\mid_0 = v-v=0$

שרשרת שהיא שפה של שרשרת ממימד גבוה יותר נקראת שפה.

חבורת ההומולוגיה הסינגולרית ה-n היא חבורת המנה $\ H_n(X) = \ker \partial_n/im\partial_{n+1}$, כלומר, מחלקת הומולוגיה היא אוסף של מחזורים שיש להם שפה משותפת. לדוגמה, שני מעגלים שמחוברים, ליצור את הספרה 8 הם הומולוגים.

יתרונה של ההומולוגיה סינגולרית

אפשר להראות שההומולוגיה הסינגולרית מקיימת את כל האקסיומות של התורה הפורמלית המוזכרות לעיל, ולכן היא זכאית בדין לשם "הומולוגיה". היתרון של הבנייה הסינגולרית הוא כי אינה תלויה במרחב שבו עובדים. בניגוד להומולוגיה סינגולרית, הומולוגיות רבות אחרות דורשות מבנה כלשהו על המרחב, כמו קומפלקס-CW או $\ \Delta$-קומפלקס.

תופעה מיוחדת של הומולוגיה היא שעל $\ \Delta$-קומפלקסים, כל ההומולוגיות מתלכדות, כך שאפשר לבחור את ההומולוגיה הנוחה ביותר, לחשב בה את ההומולוגיה של המרחב, ולהשתמש בתוצאה גם במסגרת אחרת.

ראו גם

הומולוגיה (מתמטיקה)