קריטריון אייזנשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, קריטריון איזנשטיין נותן תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג השלמים \ \mathbb{Z} (לפי למה של גאוס, פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים \ \mathbb{Q}). הקריטריון קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני פרידננד איזנשטיין (1852-1823).

נוסח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

פולינום \ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים מספר ראשוני \ p כך ש-

  • \ p מחלק את \ a_{i} לכל \ 0\le i<n.
  • \ p לא מחלק את \ a_{n}.
  • \ p^{2} לא מחלק את \ a_{0}.

פולינום המקיים תנאי זה לא ניתן לפירוק מעל חוג המספרים הרציונלים (למעט הוצאת גורם משותף מן המקדמים). פולינומים המקיימים את תנאי איזנשטיין נקראים לפעמים פולינומי איזנשטיין.

באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות D מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים אידאל ראשוני P של D, כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל-P, וכך שהמקדם החופשי אינו שייך לאידאל \ P^2. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל D (אם D הוא תחום פריקות יחידה, אז הפולינום אי פריק מעל שדה השברים של D, לפי הלמה של גאוס).

בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

1. יהי p ראשוני, אזי f(x) = x^n - p מקיים את קריטריון אייזנשטיין ולכן הוא אי-פריק.

2. הדרך הקלה להוכיח שהפולינום הציקלוטומי \ f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+1 אי פריק כאשר p ראשוני, היא להבחין ש- \ f(x+1) מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור p.

3. נתבונן ב- \ g(x)=3x^{4}+15x^{2}+10. הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- \ 5^{2}=25 איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.

4. במקרים מסוימים קשה לדעת באיזה מספר ראשוני לבחור, אבל לעתים לגלות זאת על ידי הצבת y = x + a במה שנקרא לעתים הזזה.

התבוננו לדוגמה בפולינום \ h(x)=x^{2}+x+2. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של x. אבל, אם נציב \ x+3, נקבל את הפולינום \ h(x+3)=x^{2}+7x+14, אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב-\ f(x) כפולינום מודולו \ p, כלומר נעתיק את המקדמים לשדה \ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-\ p נקבל את הפולינום \ cx^{n} עם מקדם כלשהו שונה מאפס \ c. נניח בשלילה שניתן לפרק את \ f לשני פולינומים \ g ו-\ h שהמכפלה שלהם שווה ל-\ f ונקבל ש-\ h\equiv ax^{k}\,, g\equiv bx^{n-k} (\operatorname{mod}\, p). מכאן, \ p מחלק את המקדמים החופשיים של \ h ושל \ g ולכן, \ p^{2} מחלק את המקדם החופשי של המכפלה בסתירה להנחה.