שבר מחזורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, שבר מחזורי הוא ביטוי אינסופי הכתוב כשבר עשרוני על-פי השיטה העשרונית או שיטת ספירה אחרת, שבו הספרות שמימין לנקודה העשרונית חוזרות על עצמן ממקום מסוים ואילך. לדוגמה, \ 42.3718181818.... ביטוי כזה מייצג מספר רציונלי, כלומר, מנה של שני מספרים שלמים (הקרויה גם שבר).

את המחזור מקובל לציין בקו מחבר מעל לספרות החוזרות: כותבים \ 42.37\overline{18} במקום \ 42.3718181818..., ו- \ 0.\overline{3} במקום \ 0.333....

לכל מספר רציונלי חיובי \ \frac{n}{m} יש הצגה כביטוי עשרוני \ a_0.a_1a_2\dots, שבו \ a_0 הוא מספר שלם, ואילו \ a_1,a_2,\dots המופיעים אחרי הנקודה הם ספרות מהקבוצה \ \{0,1,2,\dots,9\}. בהנחה שהשבר \ \frac{n}{m} מצומצם, יש לו הצגה סופית (כזו שבה הספרות \ a_i שוות לאפס ממקום מסוים ואילך) אם ורק אם \ m מחלק חזקה כלשהי של 10; בכל מקרה אחר, יש לו הצגה (יחידה) כשבר מחזורי. טענה זו נכונה בכל בסיס: הפיתוח הוא סופי אם ורק אם המכנה מחלק חזקה כלשהי של הבסיס, ואחרת הפיתוח מחזורי (השבר 1\over 3, למשל הוא שבר מחזורי בשיטה העשרונית, אך יש לו הצגה סופית בבסיס טרנרי, שבו ערכו 0.1).

את השבר המחזורי \ 0.999\dots אפשר להציג גם כביטוי עשרוני סופי - הוא שווה ל-1. כך הדבר בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה 9 (ובבסיס b, בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה b-1). להרחבה בנושא ראו ‎0.999....

המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר 1\over 6, למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה.

הפיכה ידנית של שבר מחזורי לשבר פשוט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקח לדוגמה את השבר המחזורי ...0.166666, אפשר להציב אותו במשתנה X, כך: X= 0.1\overline{6} לזה נקרא 1#
את 1# עכשיו נכפיל ב-10, כך: 10X= 1.\overline{6} ולזה נקרא 2#
כאן פשוט נחסר את 1# מ-2# ונקבל 10X-X=9X= 1.\overline{6}-0.1\overline{6}=1.5
X=1.5/9=1/6
במקרים שונים צריך להכפיל את X במספר שונה, העקרון הוא להכפיל אותו פי [מספר הספרות שיחזרו על עצמן]^10.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערך של שבר מחזורי הוא רציונלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

על-פי ההגדרה, השבר \ a_0.a_1a_2\dots שווה לסכום האינסופי \ x = a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\dots, שהוא מספר ממשי. נראה שאם הספרות \ a_1,a_2,\dots, חוזרות על עצמן (ממקום מסוים ואילך), התוצאה היא מספר רציונלי. ראשית, אפשר להכפיל את המספר הנתון בחזקה גבוהה של 10, ואז לחסר את החלק השלם - כך שיתקבל שבר "מחזורי טהור", היינו ביטוי מהצורה \ x = 0.\overline{a_1 a_2 \dots a_k}. אם נראה שמספר זה הוא רציונלי, יתברר שגם המספר המקורי רציונלי. ואכן, לפי הגדרת המחזוריות

\ 10^k x = 10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\dots+10a_{k-1}+a_k +x,

ולכן

\ x = \frac{10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\dots+10a_{k-1}+a_k}{10^k-1}.

ההצגה העשרונית של מספר רציונלי היא מחזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון מספר רציונלי חיובי \ x = \frac{n}{m} (כאשר n ו-m שלמים). נפרק את m למכפלה: \ m = m_0 m_1, כאשר \ m_0 מורכב מן החזקות הגבוהות ביותר של 2 ו- 5 המחלקות את m, ואילו \ m_1 זר ל- 10. כעת קיים k כך ש- \ m_0 מחלק את \ 10^k, ואפשר לכתוב \ x = \frac{n (10^k/m_0)}{10^k m_1}. לפי משפט אוילר, קיים מספר t כך ש- \ 10^t-1 יתחלק ב- \ m_1 (למעשה t מחלק את \ \phi(m_1), כאשר \ \phi היא פונקציית אוילר). נסמן \ N = n \frac{10^k}{m_0} \frac{10^t-1}{m_1}, ונחלק עם שארית: \ N = a_0 (10^t-1) + A. כעת \ x = \frac{1}{10^k} \cdot \left(a_0 + \frac{A}{10^t-1}\right). אבל \ A < 10^t-1, ולכן אפשר לכתוב \ A = 10^{t-1} a_1 + \dots + a_t, כאשר \ a_1,\dots,a_t הן ספרות (בטווח 0 עד 9). מכאן ש- \ 10^k x = a_0 . \overline{a_1 a_2 \dots a_t}.

זוהי ההוכחה עבור בסיס 10; להוכחה של אותה טענה בבסיס כללי, B, יש לפרק את m למרכיב המחלק חזקה גבוהה של B, כפול מרכיב זר ל-B, ולהמשיך באותו אופן.

הוכחה אחרת לכך שההצגה העשרונית של מספר רציונלי היא ביטוי סופי או מחזורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \frac{p}{q} שבר מצומצם כאשר p,q \in \mathbb{N} (מספרים טבעיים שונים מאפס). נבצע חילוק ארוך של p ב-q. אזי "נוסיף אפסים" מימין במידת הצורך (ראו הסבר למה הכוונה בהמשך ובדוגמה), ונקבל שכל השאריות האפשריות הן \{ 0,1,...,q-1 \}. אם נגיע בשלב כלשהו לשארית 0 סיימנו (אם רוצים להפוך את הביטוי למחזורי, אפשר להחסיר 1 מהספרה האחרונה ולהוסיף אינסוף ספרות 9 מימין לה. למשל: 1 = ‎0.999...). אם לא, מתישהו נבצע q+1 פעולות חילוק. מאחר שיש יותר פעולות חילוק מאשר שאריות אפשריות, נובע לפי עיקרון שובך היונים, שמתישהו השארית חוזרת על עצמה, ועל כן כל סדרת השאריות הנובעת ממנה חוזרת באופן אינסופי.

בפועל, כדי לחלק את p ב-q, בכל פעם שהשארית קטנה מ-q ושונה מאפס, מוסיפים עוד אפס מימין ואז מבצעים חילוק עם שארית (יש לזכור לטפל נכון בחזקות של ה-10). סכום המנות (או סדרת המנות, כאשר כל מנה מוכפלת בחזקה מתאימה של 10) נותן את תוצאת החילוק.

לדוגמה: נחשב את \frac{1}{6}. נתחיל לפי האלגוריתם של אוקלידס:

\ 1 = \mathbf{0} \times 6 + 1
1.0 = \mathbf{0.1} \times 6 + 0.4 (כאן הוספנו 0 מימין ל-1 כי 1<6)
 0.4 = 0 \times 6 + 0.4
0.40 = \mathbf{0.06} \times 6 + 0.04 (כאן הוספנו 0 מימין ל-4 כי 4<6) (נשים לב כי  0.06 \times 6 = 0.36 )
0.040 = \mathbf{0.006} \times 6 + 0.004 (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-4, כי 4<6)
0.0040 = \mathbf{0.0006}\times 6 + 0.0004 (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-4, כי 4<6)

וקל לראות שמכאן ואילך הספרה 6 חוזרת על עצמה (למעשה היה ניתן לראות זאת בשלב מוקדם יותר של החילוק, אך המשכנו לבצע חילוק עם שארית במפורש כדי להדגים את השיטה ולהראות ישירות שהספרה 6 מתחילה לחזור על עצמה).
נאסוף את כל המנות שצברנו (הן מודגשות):  0 + 0.1 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + ... ונקבל \frac{1}{6} = 0.1666... וזהו אכן ביטוי עשרוני מחזורי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]