מספר p-אדי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות $\ p^{-N}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

$\ a_{-N} p^{-N} + \dots + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots$,

עשויים המקדמים $\ a_{-N},\dots,a_0,a_1,a_2,\dots$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח $\ 0\leq a_i <p$, והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים $\ a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots$, שבהם אין חזקות שליליות של p.

מרחק בין שני מספרים

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש - ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם $a = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + ...$ אזי $|a|_p = p^{-k}$ כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים $a_k \ne 0$. כמו כן, מגדירים $|0|_p = 0$. המטריקה היא $d(a,b)=|a-b|_p$. תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים $\ a_n p^n$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה $\ 1,p,p^2,p^3,\dots$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה $\ 1,p^{-1},p^{-2},\dots$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם $a_n \in \{ 0,1,...,p-1 \}$ שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי $p=3$ ונסתכל על המספר

$...222 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ...$

נחבר לו את המספר 1, נקבל

$\begin{array}{r} ...\stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2} \\ ^{+} ...001 \\ \hline ...000 \end{array}$

שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

$...222 + 1 = 0$

ולכן $-1 = ...222 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ...$

במקרה הכללי מתקיים ש-$-1 = \sum_{n=0}^{\infty} (p-1) \cdot p^n$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של $p=3$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגודלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן $a_0 = p-1 , q = p$ ולכן

$S = \frac{a_0}{1-q} = \frac{p-1}{1-p} = -1$

כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של $|m|$ בהצגה הפיאדית של $-1$.

הצגת מספר רציונלי

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהיפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, $\ \frac{2}{3} = 4 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + \cdots$. אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור $\ S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots$ מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, $\ S=\frac{1}{1-5^2} = -\frac{1}{24}$. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- $\ 4+5 \cdot S + 3\cdot 5^2\cdot S = 4-\frac{80}{24} = \frac{2}{3}$.

השבר המצומצם $\ \frac{a}{b}$ הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, $\ \sqrt{7}= 1+3+3^2+2\cdot 3^4+2\cdot 3^7+3^8+...$ (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר $\ p\neq 2$, ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי $\ 1-p^3$ תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

$x = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) = (x_n)_{n=1}^{\infty}$

כך שלכל $n \ge 1$ :$x_n \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים $\forall n \le m : x_n = x_m \mod p^n$
• או באופן שקול, המעבר מ-$x_n$ ל-$x_{n-1}$ נעשה על ידי $x + p^n \mapsto x + p^{n-1}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים $\mathbb{Z}_p$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: $x + y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) + \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n + y_n , ... , x_1 + y_1 \right)$
• כפל: $x \cdot y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) \cdot \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n y_n , ... , x_1 y_1 \right)$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: $x_n + y_n \ , \ x_n \cdot y_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$).
זהו חוג עם אפס $0 = (...,0,0)$ ויחידה $1 = (...,1,1,1)$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן $\mathbb{Q}_p$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

$\left( ... , x_n , ... , x_1 \right) = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + a_3 p^3 + ...$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

$x_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}a_k p^k$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

$\begin{array}{rcl} a_0 & = & x_1 \\ a_1 & = & \frac{ x_2 - x_1}{p} \\ a_2 & = & \frac{ x_3 - x_2 }{p^2} \\ a_3 & = & \frac{ x_4 - x_3 }{p^3} \\ & \vdots & \\ a_n & = & \frac{x_{n+1}-x_n}{p^n} \\ & \vdots & \\ \end{array}$

או בנוסחה מפורשת:

$a_n = \frac{ x_{n+1} - x_n }{p^n}= x_{n+1} \ \mathrm{div} \ p^n$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: $8 \ \mathrm{div} \ 3 = (2 + 3 \cdot 2) \ \mathrm{div} \ 3 = 2$).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-$\mathbb{Z}_p$, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות 7-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר $\ p^n$. אוסף ההעתקות הרציפות מ-$\mathbb{Z}_p$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה $\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z} = \cup_{n=1}^{\infty} p^{-n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$.

ראו גם

• שדה המספרים ה-p-אדיים
• חוג השלמים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים

• מספר p-אדי, באנציקלופדיית המתמטיקה מבית ספרינגר
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011