מספר p-אדי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות \ p^{-N}, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

\ a_{-N} p^{-N} + \dots + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots,

עשויים המקדמים \ a_{-N},\dots,a_0,a_1,a_2,\dots להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח \ 0\leq a_i <p, והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים \ a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots, שבהם אין חזקות שליליות של p.

מרחק בין שני מספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש - ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם a = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + ... אזי |a|_p = p^{-k} כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים a_k \ne 0. כמו כן, מגדירים |0|_p = 0. המטריקה היא d(a,b)=|a-b|_p. תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים \ a_n p^n הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה \ 1,p,p^2,p^3,\dots שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה \ 1,p^{-1},p^{-2},\dots היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם a_n \in \{ 0,1,...,p-1 \} שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי p=3 ונסתכל על המספר

...222 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ...

נחבר לו את המספר 1, נקבל

\begin{array}{r} ...\stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2} \\ ^{+} ...001 \\ \hline ...000 \end{array}

שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

...222 + 1  = 0

ולכן -1 = ...222 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ...

במקרה הכללי מתקיים ש- -1 = \sum_{n=0}^{\infty} (p-1) \cdot p^n. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של p=3 אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגודלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן a_0 = p-1 , q = p ולכן

S = \frac{a_0}{1-q} = \frac{p-1}{1-p} = -1

כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של |m| בהצגה הפיאדית של -1.

הצגת מספר רציונלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהיפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, \ \frac{2}{3} = 4 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + \cdots. אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור \ S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, \ S=\frac{1}{1-5^2} = -\frac{1}{24}. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- \ 4+5 \cdot S + 3\cdot 5^2\cdot S = 4-\frac{80}{24} = \frac{2}{3}.

השבר המצומצם \ \frac{a}{b} הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, \ \sqrt{7}= 1+3+3^2+2\cdot 3^4+2\cdot 3^7+3^8+... (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר \ p\neq 2, ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי \ 1-p^3 תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

x = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) = (x_n)_{n=1}^{\infty}

כך שלכל n \ge 1 :x_n \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

  • הם מקיימים \forall n \le m : x_n = x_m \mod p^n
  • או באופן שקול, המעבר מ-x_n ל-x_{n-1} נעשה על ידי  x + p^n \mapsto x + p^{n-1} .

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים \mathbb{Z}_p. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

  • חיבור: x + y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) + \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n + y_n , ... , x_1 + y_1 \right)
  • כפל: x \cdot y = \left( ... , x_n , ... , x_1 \right) \cdot \left( ... , y_n , ... , y_1 \right) = \left( ... , x_n y_n , ... , x_1 y_1 \right)

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: x_n + y_n \ , \ x_n \cdot y_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}).
זהו חוג עם אפס 0 = (...,0,0) ויחידה 1 = (...,1,1,1). יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן \mathbb{Q}_p.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

\left( ... , x_n , ... , x_1 \right) = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + a_3 p^3 + ...

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

 x_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}a_k p^k

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:


\begin{array}{rcl}
a_0 & = & x_1 \\
a_1 & = & \frac{ x_2 - x_1}{p} \\
a_2 & = & \frac{ x_3 - x_2 }{p^2} \\
a_3 & = & \frac{ x_4 - x_3 }{p^3} \\
& \vdots & \\
a_n & = & \frac{x_{n+1}-x_n}{p^n} \\
& \vdots & \\
\end{array}

או בנוסחה מפורשת:

a_n = \frac{ x_{n+1} - x_n }{p^n}=  x_{n+1} \ \mathrm{div} \ p^n

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: 8 \ \mathrm{div} \ 3 = (2 + 3 \cdot 2) \ \mathrm{div} \ 3 = 2).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-\mathbb{Z}_p, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות 7-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר \ p^n. אוסף ההעתקות הרציפות מ-\mathbb{Z}_p למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z} = \cup_{n=1}^{\infty} p^{-n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]