אי-שוויון ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

תחולה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור x>0 אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון: .

את המקרה הכללי (היינו x>-1) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור מתקיים: . נניח את נכונות אי-השוויון עבור , ונוכיח את נכונותו עבור (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: , ונוכיח ש-. נשים לב ש- ולכן: . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: , ומכאן: . הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן מתקיים: .

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל

ועבור כל

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון ברנולי בוויקישיתוף