אי-שוויון ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

באנליזה מתמטית, אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי . האי-שוויון קובע ש- לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

תחולה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי השוויון נכון לכל ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה באינדוקציה לאי-שוויון ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס האינדוקציה: ואכן מתקיים ש: כלומר: .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור כלשהו, כלומר נניח ש: , נשים לב לכך שמכיוון ש- אז: , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי-שוויון של ההנחה ולקבל ש: כלומר:

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור כלומר צריך להוכיח ש-, כלומר: , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: , הביטוי חיובי (כי וגם ) ולכן ממילא מתקיים ש-.

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חזקה ממשית ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל ולכל

ועבור כל

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.