אי-שוויון ברנולי

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור $n=3$

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ לכל מספר שלם $n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $x>-1$. יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ עולה בזמן שהסדרה $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי $e=2.718\ldots$, כגבולן המשותף.

תחולה

האי-שוויון נכון לכל $n$ ממשי, ובלבד ש-$n\geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר $n$ טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל $x$, וכאשר $n$ אי-זוגי הוא נכון לכל $x>-2$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור $x>0$ אפשר להוכיח על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}\geq {\binom {n}{0}}1^{n}x^{0}+{\binom {n}{1}}1^{n-1}x^{1}=1+nx$

את המקרה הכללי (כלומר $x>-1$) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור $n=1$ מתקיים: $(1+x)^{1}=1+x\geq 1+x$. נניח את נכונות האי-שוויון עבור $n=k$, ונוכיח את נכונותו עבור $n=k+1$. כלומר נניח כי $(1+x)^{k}\geq 1+kx$ ונוכיח כי $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$. נשים לב כי $x>-1$ ולכן $1+x>0$. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $(1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)$, ומכאן $(1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}$. הביטוי $kx^{2}$ חיובי ולכן מתקיים: $(1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\geq 1+kx+x=1+(k+1)x$.

הכללה

לכל חזקה ממשית $r$ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שלכל $r\notin (0,1)$ ולכל $x>-1$

$(1+x)^{r}\geq 1+rx$

ולכל $r\in [0,1]$

$(1+x)^{r}\leq 1+rx$

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון ברנולי בוויקישיתוף

• אי-שוויון ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)