אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון הוכח על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי $(X,\sigma ,\mu )$ מרחב מידה. עבור קבוע $r\in \mathbb {R}$, לכל $f:X\to \mathbb {C}$ נהוג לסמן:

$$\|f\|_{r}\equiv \left(\int _{X}\left|f\right|^{r}d\mu \right)^{1/r}$$

יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם $f\in L^{r}(\mu )$ (כלומר $\int f^{r}<\infty$).

אי-השוויון קובע שלכל $p,q\in [1,\infty ]$ המקיימים $1/p+1/q=1$, לכל זוג פונקציות מדידות $f,g:X\to \mathbb {C}$, מתקיים כי:

$$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$$

אם מתקיים בנוסף כי $p,q\in (1,\infty )$ וכן גם $f\in L^{p}(\mu )$, $g\in L^{q}(\mu )$, אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם $\left|f\right|^{p},\left|g\right|^{q}$ תלויות ליניארית במרחב $L^{1}(\mu )$, כלומר קיים $c\geq 0$ כך שמתקיים $\left|f\right|^{p}=c\cdot \left|g\right|^{q}$ כמעט תמיד ביחס ל-$\mu$.

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }$

עבור $a_{i},b_{i},\alpha ,\beta \geq 0$ כאשר $\alpha +\beta =1$.

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה:

$$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\cdot c_{i}^{\gamma }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\right)^{\gamma }$$

כאשר $\alpha +\beta +\gamma =1$ וגם $\alpha ,\beta ,\gamma \geq 0$

כאשר $\alpha =\beta ={\frac {1}{2}}$ מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\geq \sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ ולכן סה"כ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}b_{i}\right|\right)^{2}$

הוכחה

נשים לב שלכל $x,y\geq 0$ מתקיימת הטענה הבאה: $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\leq \alpha \cdot x+\beta \cdot y$. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי $\log$ היא פונקציה קעורה ולכן: $\alpha \cdot \log(x)+\beta \cdot \log(y)\leq \log(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)$.

כעת נסמן $S_{a}=\sum _{i=1}^{n}a_{i},S_{b}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}$ ולפי הטענה הנ"ל מתקיים

$$\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)^{\beta }\leq \sum _{i=1}^{n}\left(\alpha \cdot {\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left(\beta \cdot {\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)=\alpha +\beta =1$$

נכפיל את שני האגפים ב $S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }$ ונקבל את אי השוויון הרצוי $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }$.

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון הלדר, באתר MathWorld (באנגלית)