אי-שוויון הלדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אי-שוויון הולדר)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. סיבה: זה רק מקרה פרטי קטן, ראו את הערך האנגלי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

האי-שוויון התגלה על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס (אנ') בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר (אנ') בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

האי-שוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

המקרה הכללי ביותר של האי-שוויון הוא במרחבי מידה.

יהי (X, \sigma, \mu) מרחב מידה. עבור כל r \in \mathbb{R} נהוג לסמן:

 \| f \|_r \equiv \left( \int_{X} \left| f \right|^r d\mu \right)^{1/r}

לכל f:X \to \mathbb{C}. יש לשים לב שסימון זה אינו אומר שמדובר בהכרח בנורמה, אלא רק אם f \in L^r(\mu) בעלת אינטגרל סופי.

האי-שוויון קובע שלכל p,q \in [1, \infty] המקיימים 1/p + 1/q = 1, לכל זוג פונקציות מדידות f,g:X \to \mathbb{C}, מתקיים כי:

\| fg \|_1 \leq \| f \|_p \| g \|_q

אם מתקיים בנוסף כי p,q \in (1, \infty) וכן גם f \in L^p(\mu), g \in L^q(\mu), אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם \left| f \right|^p, \left| g \right|^q תלויות לינארית במרחב L^1(\mu), כלומר קיים c \geq 0 כך שמתקיים \left| f \right|^p = c \cdot \left| g \right|^q כמעט תמיד ביחס ל-\mu.

מקרים פרטיים חשובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן עוד לראות כי האי-שוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}

עבור a_i, b_i, \alpha , \beta \geq 0 כאשר \alpha+\beta=1.

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה:

\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \cdot c_i^\gamma \leq \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i \right ) ^{\alpha} \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} b_i \right ) ^{\beta}\cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} c_i \right ) ^{\gamma}

כאשר \alpha + \beta + \gamma=1 וגם \alpha,\beta,\gamma \geq 0

כאשר \alpha = \beta = \frac{1}{2} מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: \left ( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \cdot\left ( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right ) ^ \frac{1}{2} \geq \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^2 \right )^\frac{1}{2} \cdot \left( b_i^2 \right )^\frac{1}{2} ולכן סה"כ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq \left ( \sum_{i=1}^{n} \left | a_ib_i \right | \right )^2

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב שלכל x,y \geq 0 מתקיימת הטענה הבאה: x^\alpha\cdot y^\beta \leq \alpha \cdot x + \beta \cdot y. זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי log הינה פונקציה קעורה ולכן: \alpha \cdot log(x) + \beta \cdot log(y) \leq log(\alpha \cdot x + \beta \cdot y).

כעת נסמן S_a = \sum_{i=1}^{n} a_i, S_b = \sum_{i=1}^{n} b_i ולפי הטענה הנ"ל מתקיים \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_i}{S_a} \right )^\alpha \cdot \left ( \frac{b_i}{S_b} \right )^\beta \leq \sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha \cdot \frac{a_i}{S_a} \right) + \sum_{i=1}^{n} \left ( \beta \cdot \frac{b_i}{S_b} \right) = \alpha + \beta = 1 נכפיל את שני האגפים ב S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta ונקבל את אי השוויון הרצוי \sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta.

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.