אי-שוויון ML

באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון ML, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.

אם $f$ היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה $\Gamma$ ואם המודול שלה $|f(z)|$ חסום על ידי הקבוע $M$ עבור כל $z$ על $\Gamma$, אז:

$\left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma )$

כאשר $\ell (\Gamma )$ הוא אורך הקשת של $\Gamma$. בפרט, ניתן לקחת את המקסימום $M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|$ כחסם עליון.

טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם $M$ על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של $f(z)$ על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.

באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:

$\left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|=\left|\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\right|\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }|f(\gamma (t))||\gamma '(t)|dt\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|dt=M\int \limits _{\alpha }^{\beta }|\gamma '(t)|dt=M\,\ell (\Gamma )$

דוגמה

המסילה $\Gamma$

בעיה – חשב את האינטגרל $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx$.

פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את $\int _{-a}^{a}{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx$ ונשאיף את $a$ לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל $|z|=a$ מ-$z=a$ לכיוון $z=-a$ (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב-$\Gamma$.

לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל-$2\pi i$ כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה $z=i$. אפשר לפתח לטור לורן ${\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {-1}{4}}(z-i)^{-2}+{\frac {-i}{4}}(z-i)^{-1}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)-{\frac {5}{64}}(z-i)^{2}+\dots$; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של $(z-i)^{-1}$, שווה ל-${\frac {-i}{4}}$. מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא $(\int _{-a}^{a}+\int _{\Gamma }){\frac {dz}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi i{\frac {-i}{4}}={\frac {\pi }{2}}$.

אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו $a$, ומכאן $\ell (\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a$.
מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:

$|z|^{2}=|z^{2}|=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1$

ולכן:

$|z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0$ כאשר $a>1$.

מכאן:

$\left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}$

כלומר $M={\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}$, והחסם הוא:

$\left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}$. הערך הזה שואף לאפס כאשר $a$ שואף לאינסוף, ומכאן ש-$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}$.

ראו גם

• הלמה של ז'ורדן
• משפט השאריות

לקריאה נוספת

• Saff, E.B; Snider, A.D. (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615.
• Howie, J.M. (2003), Complex Analysis, Springer.