אם-אז

אם-אז או קַשָּׁר הגרירה או אימפליקציה מטריאלית הוא קשר לוגי בלוגיקה מתמטית, שמסומן באמצעות $\to$.

הקשר יוצר משני פסוקים, המסומנים ב-$p,q$, פסוק חדש עם קשר ביניהם $p\to q$.

מרכיבי התנאי

הפסוק הראשון ($p$) נקרא רישא ובו מופיע התנאי. שם נוסף הוא פותח.

הפסוק השני ($q$) נקרא סיפא ובו מוצגת התוצאה. שם נוסף הוא סוגר. "רישא" ו"סיפא" מקורם בארמית והם מקבילים בקירוב למונחים "ראשית" ו"סוף" בעברית.

למשל, תנאי המורכב משני חלקים, כאשר הפותח הוא המרכיב א' והסוגר הוא מרכיב ב' יתבצע באופן הבא. אם נרצה לחלק את המשפט ” אם א' הוא אדם, אז א' הוא בן תמותה”, נוכל לטעון כי הפותח הוא המשפט "א' הוא אדם", ואילו הסוגר "א' הוא בן תמותה".

הגדרות של תנאים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

טבלת אמת

טבלת אמת היא טבלה שמייצגת את כל הערכים האפשריים שטענה מסוימת יכולה לקבל, בין אם שקר ובין אם הוא אמת. היא מאפשרת לדעת מתי טיעון הוא תקף ומתי כשל. אם כן, טבלת אמת עבור הקשר "אם-אז" ($p\to q$) תראה באופן הבא, כאשר T מייצג "אמת" (True) ו-F מייצג "שקר" (False):

$P\to Q$	$Q$	$P$
T	T	T
F	F	T
T	T	F
T	F	F

בשפה הטבעית רגילים ליחס לקשר הגרירה משמעות של סיבה ותוצאה: ”וְאִם־בְּזֹאת, לֹא תִשְׁמְעוּ לִי; וַהֲלַכְתֶּם עִמִּי בְּקֶרִי [אז] וְהָלַכְתִּי עִמָּכֶם בַּחֲמַת־קֶרִי; וְיִסַּרְתִּי אֶתְכֶם אַף־אָנִי, שֶׁבַע עַל־חַטֹּאתֵיכֶם” (ויקרא, פרק כ"ו, פס' כ"ח-כ"ט). ואולם, מבחינה לוגית ערך האמת של פסוק התנאי תלוי רק בערכי האמת של שני המרכיבים, ולא ביחס הסיבתי ביניהם. לפיכך, תוצאה המצביעה על כשל נגרמת כאשר התנאים מתקיימים, ואילו התוצאה אינה מתקיימת (אפשרות 2 בטבלת האמת). למשל "אם יורד גשם אנחנו נרטבים". אם אכן יורד גשם ואנחנו לא נרטבים סימן שיש כשל בהגדרה.

תוצאה תקפה תתקיים כשאר הפסוק הוא בעל ערך "אמת" אם התוצאה אמיתית, או אם התנאי שקרי.

1. דוגמה לאפשרות 1: "אם העגבניות אדומות אז הן בשלות". מאחר ששני הקלטים הם פסוקי אמת, אזי התוצאה חייבת להיות אמת.
2. דוגמה לאפשרות 3: "כל מספר ראשוני המתחלק ב-6, מסתיים בספרה 9". הטענה נכונה, מכיוון שאין ראשוניים שמתחלקים ב-6. כאשר התנאי לעולם לא מתקיים, הטענה נקראת נכונה באופן ריק משום שהיא עוסקת באובייקטים שאינם קיימים.
3. דוגמה לאפשרות 4: אם הפסוק, "אם צבע השמים ירוק אז אבטיחים צומחים על עצים" שקרי בכולו אזי התוצאה היא תקפה, כלומר אם השמים לא ירוקים, אז האבטיחים לא צומחים על עצים ולכן מדובר על תוצאה אמת.

סוגי טענות היפוכיות ומנוגדות

טענה מהצורה "אם A אז B" נקראת טענה פוזיטיבית. הטענה תקפה, כאמור, אם כל אימת שמתקיים A מתקיים גם B.
הטענה אינה תקפה אם A מתקיים ו-B אינו מתקיים. זוהי, אם כך, השלילה הלוגית של "אם A אז B":‏ "A אבל לא B".

מלבד פעולת השלילה, מקובלות בלוגיקה גם פעולות אחרות, המביאות לטענות שאינן שקולות לטענה הפוזיטיבית.

• כאשר משנים את מיקום המשתנים, "אם B אז A", מדובר על הטענה המנוגדת (converse) לטענה המקורית. טענה זו אינה נובעת מן הטענה הפוזיטיבית. המעבר מן הטענה הפוזיטיבית (כל ההתחלות קשות) לטענה המנוגדת (רק ההתחלות קשות) היא כשל לוגי נפוץ.
• הטענה ההיפוכית (inverse) לטענה פוזיטיבית היא "אם לא A אז לא B". כלומר שלילת כל הגורמים. גם כאן, הטענה ההיפוכית אינה נובעת מהטענה הפוזיטיבית.
• "אם לא B אז לא A" היא הטענה הקונטרה-פוזיטיבית. טענה זו שקולה לטענה הפוזיטיבית "אם A אז B".

ראו גם

• היסק
• הכחשת הפותח
• אישור הסוגר
• מודוס פוננס
• מודוס טולנס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אם-אז בוויקישיתוף

• אם-אז, באתר MathWorld (באנגלית)