ד'אלמברטיאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן, המסומל באמצעות \scriptstyle\Box ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.

בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:


\begin{align}
\Box & = \partial_\mu \partial^\mu = g_{\mu\nu} \partial^\nu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2
\end{align}

כאשר g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix} היא מטריקת מינקובסקי ו-\nabla^2 הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

 (\Box + m^2) \psi = 0. \,
כאשר \psi\, היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-m\, היא מסת החלקיק.
 \Box A^{\mu} = 0
כאשר  A^{\mu} =( \phi, \vec A ) הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.
  • משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:
 \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0\,
כאשר u\left(x,t\right)\, זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.
 \Box G(x-x') = \delta(x-x')
כאשר \delta(x-x')\, היא פונקציית דלתא של דיראק ו-x\, ו-x'\, הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:
G(t,x,y,z) = \frac{1}{2\pi} \Theta(t) \delta(t^2 - x^2 - y^2 - z^2) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)
כאשר \,\Theta היא פונקציית מדרגה.