אנליזה מתמטית - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במונחון זה מופיעות לרבים מהמונחים הגדרות אינטואיטיביות. הגדרה פורמלית מופיעה בערך המתאים.

  • חדו"א: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, Calculus, הענף המתמטי העוסק בתורת הגבולות, בפונקציות ממשיות ובחקירת התכונות של נגזרות ואינטגרלים.
  • סדרה: קבוצה בת מנייה של איברים שמסודרים בסדר מסוים, כך שלכל איבר יש איבר הבא מיד אחריו.
  • תת סדרה: סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. 
  • סדרת קושי: סדרה שהמרחק המקסימלי בין איבריה הולך וקטן כאשר מתעלמים ממספר גדל והולך של איברים בראשיתה.
  • טור: סכום של איברי סדרה כלשהי.
  • גבול: אינטואיטיבית - מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים ("שואפים") אל המספר הזה.
  • משפט בולצאנו-ויירשטראס: מכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול.
  • אינפיניטסימל: מספר הקטן עד כדי אינסוף, גודל שהוא בעל סתירה עצמית אך כלי מאוד יעיל לביצוע חישובים.
  • פונקציה: כלל שמתאים לכל איבר מקבוצה אחת איבר יחיד מקבוצה אחרת.
  • פונקציה ממשית: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים הממשיים.
    • פונקציה קעורה: פונקציה קעורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מעל לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
    • פונקציה קמורה: פונקציה קמורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מתחת לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
    • פונקציה לינארית: פונקציה שמתוארת על ידי קו ישר.
    • פונקציה מונוטונית: פונקציה השומרת על מגמת עלייה או ירידה.
    • פונקציה אנליטית: פונקציה נקראת אנליטית בנקודה Z, אם היא גזירה בנקודה Z וגם גזירה בסביבה כלשהי שלה (אפילו תחום קטן מאוד) ונקראת אנליטית בתחום D, אם היא אנליטית בכל הנקודות שבתחום D. במקרה שהתחום הוא אינסופי או אין תחום- היא אינה אנליטית.
  • פונקציה מרוכבת: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים המרוכבים.
  • פונקציה רציפה: אינטואיטיבית - פונקציה שניתן לצייר את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהדף.
  • רציפות במידה שווה: תכונה של פונקציה, שבאופן אינטואיטיבי פירושה שקצב ההשתנות של הפונקציה בקטע שבו היא רציפה במידה שווה הוא חסום.
  • משפטים העוסקים ברציפות:
    • משפט ערך הביניים: אינטואיטיבית - פונקציה רציפה לא "מדלגת" על ערכים. כלומר, אם הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בשתי נקודות שונות, היא תקבל גם כל ערך שבין שני ערכים אלה בקטע שקצותיו הם נקודות אלה.
    • משפט ויירשטראס הראשון - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
    • משפט ויירשטראס השני - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו ערך מקסימלי וערך מינימלי.
    • משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
  • נגזרת: פונקציה שמתקבלת מפונקציה אחרת, ומתארת את קצב ההשתנות של אותה פונקציה. נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לפונקציה באותה נקודה.
  • משפטים העוסקים בנגזרות:
    • משפט פרמה - אם לפונקציה גזירה יש נקודת קיצון בנקודה מסוימת, נגזרתה מתאפסת באותה נקודה.
    • משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, נגזרתה מתאפסת באחת מנקודות הקטע.
    • משפט הערך הממוצע של לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
    • משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
    • משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
    • כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול מנת הנגזרות שלהן.
  • אינטגרל:
    • אינטגרל מסוים: הכללה של מושג הסכום. אינטגרל של פונקציה ממשית חיובית שווה לשטח הכלוא בין הגרף שלה לציר ה.
    • אינטגרל לא מסוים: אוסף הפונקציות הקדומות של פונקציה כלשהי.
    • אינטגרל התלוי בפרמטר: אינטגרל שערכו מותנה בפרמטר הניתן לו - כלומר, הוא פונקציה של הפרמטר.
    • אינטגרל כפול: אינטגרל על פונקציה בעלת שני משתנים, שמוגדרת על תחום במישור.
  • משפטים העוסקים באינטגרלים:
  • טור טיילור: קירוב לפונקציה על ידי פולינום סופי, שמקדמיו תלויים בערכי נגזרת הפונקציה בנקודה מסוימת. כמו כן ניתן להעריך את הקירוב המושג על ידי הפולינום (השארית).
  • שיטת ניוטון-רפסון: שיטת קירוב איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה באמצעות הנגזרת שלה.