דטרמיננטת דודונה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'ן דודונה (אנ') שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי F, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם \ \operatorname{GL}_n(F) \rightarrow F^{\times} מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של F. אם D חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם R חוג מקומי (בפרט: אם R חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, \ \operatorname{det}\,{:}\,\operatorname{GL}_n(R) \rightarrow R^{\times}/[R^{\times},R^{\times}], המקיימת את התכונות הבאות:

  1. אם \,A' מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה \ A, אז \ \operatorname{det}(A') = \operatorname{det}(A);
  2. אם \,A' מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה \ A בקבוע a, אז \ \operatorname{det}(A') = a\operatorname{det}(A);
  3. \ \operatorname{det}(I) = 1.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם R חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה לינארית.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.