חוג מקומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג מקומי הוא חוג (בדרך כלל - קומוטטיבי) שיש לו אידאל מקסימלי יחיד. חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך המיקום של חוג קומוטטיבי נתון ביחס לאידאל ראשוני של אותו חוג. כל תחום הערכה הוא מקומי. לחוג קומוטטיבי מקומי תורת הצגות פשוטה בתכלית: יש לו מודול פשוט יחיד (עד כדי איזומורפיזם), וכל מודול פרויקטיבי הוא חופשי[1].

אם R חוג קומוטטיבי מקומי ו- M האידאל המקסימלי שלו, אז כל איבר מחוץ ל- M הוא הפיך.

מיקום[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי R חוג קומוטטיבי עם יחידה, ו- S תת-קבוצה של R, המכילה את 1 וסגורה לכפל, ואינה מכילה את 0. המיקום של R ב-S הוא החוג \ S^{-1}R  = \{ \frac{a}{s} \ | \ a \in \ R , \ s \in \ S \}, שבו החיבור של שברים מוגדר לפי  \frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at + bs}{st} , והכפל לפי \frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}. החוג החדש מכיל את החוג R, ויש התאמה חד-חד-ערכית בין סריג האידאלים שלו, לסריג האידאלים של R הזרים ל-S.

אם P אידאל ראשוני של R, אז המיקום של R ביחס ל-P הוא החוג \ (R-P)^{-1}R. זהו חוג מקומי, שהאידאל המקסימלי היחיד שלו הוא \ (R-P)^{-1}P.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מיקום של חוג המספרים השלמים באידאל הראשוני p\mathbb{Z} נותן את החוג \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}= \{\frac{a}{b} \,:\, a,b\in \mathbb{Z},\gcd(b,p)=1\} \subset \mathbb{Q}, שהאידאל המקסימלי היחיד שלו נוצר על ידי p. השלמה של החוג הזה ביחס לטופולוגיה ה-p-אדית נותנת את חוג השלמים ה-p-אדיים, \ \mathbb{Z}_{p}, שגם הוא מקומי.

כל חוג מקומי סופי שכל האידאלים שלו ראשיים הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי. כל חוג מהצורה \ R/M^n, כאשר M אידאל מקסימלי של R, הוא מקומי.

חוגים מקומיים נתריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנם מקורות (ובפרט בכתבי בורבקי) שבהם המושג "חוג מקומי" מתייחס לחוג שהוא מקומי ונתרי (ואז חוג מקומי סתם נקרא "קוואזי-מקומי"). אכן, החוגים המקומיים המופיעים בגאומטריה אלגברית הם כמעט תמיד נתריים. לחוגים מקומיים נתריים יש כמה תכונות חשובות: וולפגנג קרול, שהיה הראשון שחקר חוגים מקומיים, הוכיח (ב-1938) ש- \ \cap M^i = 0, כאשר M הוא האידאל המקסימלי היחיד. לחוגים מקומיים נותריים יש ממד קרול סופי, נאמר n, ואז יש אברים \ x_1,\dots,x_n בחוג כך שהרדיקל של \ \sum R x_i הוא האידאל המקסימלי, M. משפט המבנה של כהן (1946) מתאר חוגים מקומיים נתריים שלמים: כל חוג מקומי נתרי שלם (המכיל שדה) הוא חוג מנה של \ k[[x_1,\dots,x_n]].

חוג מקומי נתרי הוא רגולרי, אם אפשר ליצור באמצעות \ n = \operatorname{Kdim}(R) יוצרים את האידאל המקסימלי עצמו. תכונה זו שקולה לכך שהממד של \ M/M^2מרחב וקטורי מעל שדה השאריות \ k=R/M) שווה ל-n; וגם לכך שהחוג המדורג \ \bigoplus_{i=0}^{\infty} M^i/M^{i+1} איזומורפי לחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל k.

כמה משפחות חשובות נוספות של חוגים מקומיים נתריים הן חוגים בעלי חיתוך שלם (זהו חוג מקומי רגולרי, מודולו אידאל שלו הנוצר על ידי "סדרה רגולרית"); חוגי גורנשטיין (חוגים מקומיים נתריים בעלי ממד אינג'קטיבי סופי); וחוגי כהן-מקולי מקומיים (חוגים מקומיים נתריים שבהם יש לאידאל המקסימלי סדרה רגולרית באורך השווה לממד קרול של החוג). כל חוג מקומי רגולרי הוא בעל חיתוך שלם; כל חוג בעל חיתוך שלם הוא גורנשטיין; וכל חוג גורנשטיין הוא כהן-מקולי.

חוגים מקומיים ארטיניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני R, עם אידאל מקסימלי N, הוא ראשי (כלומר, כל האידאלים שלו ראשיים) אם ורק אם N עצמו ראשי. במקרה זה, כל עוד המנה אינה מתאפסת, הממד של כל N^{i}/N^{i+1} מעל שדה השאריות F = R/N הוא 1. את הסיעוף של R מודד המספר e, כאשר pR = N^e; החוג נקרא מסועף אם e>1.

חוג מקומי ארטיני ראשי R הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם, W, ויתרה מזו, R אינו מסועף אם ורק אם W אינו מסועף. אם המאפיין של R שווה לזה של F, אז R = F[x]/\langle x^s \rangle עבור s מתאים. אחרת, המאפיין של F חיובי, ואז קיים חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד V ששדה השאריות שלו הוא F; במקרה זה R = V[x]/\langle x^s,f(x)\rangle כאשר f(x) \in V[x] הוא פולינום אייזנשטיין. אם R מסועף באופן מבוית (כלומר e>1 אבל אינו מתחלק במאפיין p של F) אפשר לדייק יותר: R = V[x]/\langle x^m-pa,x^s\rangle, כאשר a \in V^{\times} והתמונה של a ב-F יחידה עד-כדי כפל בחזקת-m והפעלה של אוטומורפיזם של F.

חוגים מקומיים לא קומוטטיביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג לא קומוטטיבי נקרא מקומי אם יש לו אידאל שמאלי מקסימלי יחיד; במקרה זה, יש לו גם אידאל ימני מקסימלי יחיד, ואידאל מקסימלי זה הוא חד-צדדי. לכן יש לחוג אידאל מקסימלי יחיד. חוג המנה ביחס אליו הוא חוג עם חילוק. משפט קפלנסקי (כל מודול פרויקטיבי הוא חופשי) מתקיים גם לחוגים מקומיים לא קומוטטיביים. מודול שחוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי נקרא אי-פריק בחזקה (strongly indecomposable).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Dummit & Foote, Abstract Algebra - second edition

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Kaplansky's theorem