חוג פשוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידאלים לא טריוויאליים[1]. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים הארטיניים הם, לפי משפט ודרברן-ארטין, אלגברות מטריצות מעל חוגים עם חילוק. המבנה של חוגים פשוטיים נתריים מסובך למדי, וידועות שם כמה וכמה דוגמאות פתולוגיות.

המרכז של חוג פשוט הוא תמיד שדה, ולכן אפשר לראות את החוג כאלגברה מעל המרכז של עצמו. כל אלגברה מעל שדה אפשר לשכן באלגברה פשוטה (Bokut).

תפקידם של החוגים הפשוטים בתורת החוגים אינו חד-משמעי כזה של החבורות הפשוטות בתורת החבורות: האחרונות משמשות דרך סדרות ההרכב אבני יסוד שאפשר לבנות מהן את כל החבורות הסופיות (וגם חבורות רבות אחרות). בתורת החוגים, למרות שלכל חוג (עם יחידה) יש מנות פשוטות, ולמרות קיומו של רדיקל בראון-מקוי המודד עד כמה המנות האלה רחוקות מלתאר את החוג כולו, הפירוק של חוג למרכיבים פשוטים - במידה שהוא אפשרי - נעשה דווקא דרך מודולים פשוטים.

דוגמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבות אורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חוג פשוט R ממאפיין 0, אם \ d : R \rightarrow R היא גזירה (כלומר, פונקציה לינארית המקיימת את כלל לייבניץ \ d(ab)=ad(b)+d(a)b; ראו אלגברה דיפרנציאלית) שאינה פנימית (כלומר, היא אינה מהצורה \ d(a)=at-ta עבור t קבוע), אז הרחבת אור \ R[x;d] (הכוללת את הפולינומים מעל R, עם כלל הכפל \ x a = a x + d(a)) היא חוג פשוט (עמיצור). חזרה איטרטיבית על בניה זו מביאה (כאשר F שדה ממאפיין 0) לאלגברת וייל  A_n(F) = F[x_1,\dots,x_n, y_1,\dots, y_n], שבה כל \ x_i וכל \ y_j מתחלפים זה עם זה, למעט \ y_ix_i=x_iy_i+1. זוהי דוגמה ידועה לאלגברה פשוטה נותרית.

חוגים רדיקליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההגדרה לחוג פשוט אינה מבטיחה, א-פריורי, את קיומו של אבר יחידה (לדגומה, החוג של אנדומורפיזמים בעלי תמונה סוף ממדית על מרחב וקטורי אינסוף ממדי) ומכאן שניתן לתהות האם קיימים חוגים פשוטים במחלקות של חוגים ללא יחידה - כמו חוגים השווים לרדיקל ג'ייקובסון של עצמם או חוגים ניליים (כפי ששאלו לויצקי, ג'ייקובסון, קפלנסקי ואחרים). בשנת 1961 נמצאה דוגמה לחוג פשוט השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו (Sasiada), ובשנת 2002 נמצאה דוגמה לחוג פשוט ונילי (Smoktunowicz).


אלגברות לי וז'ורדן הנלוות לאלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חוג אסוציאטיבי R נלווים חוג לי \ R^{-} וחוג ז'ורדן \ R^{+} הבנויים על אותם איברים ואותה פעולת חיבור, עם הכפל \ [x,y]=xy-yx במקרה הראשון ו-\ x\circ y = xy+yx במקרה השני. באופן טיפוסי לאחרונים יש "יותר" אידאלים מאשר ל-R, משום שהפעולה שלהם סימטרית יותר. אם R חוג פשוט ממאפיין שאינו 2, אז \ R^+ הוא חוג ז'ורדן פשוט, וכל אידאל של חוג לי \ R^{-} מוכל במרכז של R או מכיל את כל הקומוטטורים שלו. חוג המנה \ [R,R]/\operatorname{Cent}(R) הוא חוג לי פשוט.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ חוג בלי יחידה A הוא פשוט אם אין לו אידאלים לא טריוויאליים, ובנוסף \ A^2 \neq 0. מן ההנחות האלה נובע שלמעשה \ A^2 = A; שוויון זה מובטח בכל מקרה בחוגים עם יחידה.