פונקציה לוגיסטית

פונקציה לוגיסטית סיגמואידית $L=1,k=1,x_{0}=0$

פונקציה לוגיסטית או עקום לוגיסטי היא סיגמואיד המוגדר על ידי הפונקציה:

$f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$

כאשר

• e = הוא בסיס הלוגריתם טבעי (ידוע גם כקבוע אוילר),
• x₀ = ערך ה-x-של נקודת המרכז של הסיגמואיד,
• L = הערך המרבי של העקום
• k = שיפוע העקום

זוהי פונקציה ממשית $f:\mathbb {R} \to (0,1)$ דיפרנציאבילית (ובפרט רציפה וגזירה) בעלת נגזרת אי-שלילית.

הפונקציה קיבלה את שמה בשנים 1844–1845 על ידי המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט שחקר אותה בהקשר של גידול אוכלוסייה. השלב הראשוני הוא בערך אקספוננציאלי, בהמשך כאשר מגיעים לרוויה הגידול קטן עד לעצירה. לפונקציה הלוגיסטית שימושים בתחומים מגוונים בהם סטטיסטיקה, הסתברות, רשתות עצביות מלאכותיות, ביולוגיה, ביו מתמטיקה, כימיה, דמוגרפיה, כלכלה, מדעי כדור הארץ, פסיכולוגיה מתמטית, סוציולוגיה, מדע המדינה, ובלשנות.

תכונות מתמטיות

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית היא פונקציה לוגיסטית עם פרמטרים (k = 1, x₀ = 0, L = 1) שמניבה

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{1+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})\\\end{aligned}}$

עקב טבעה של הפונקציה המעריכית e^−x, לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית התקנית עבור x עבור טווח קטן של מספרים ממשיים כדוגמת הטווח $[-6,+6]$.

לפונקציה הלוגיסטית תכונת סימטריות:

$1-f(x)=f(-x).$

בהתאם, $x\mapsto f(x)-1/2$ היא פונקציה אי זוגית.

הפונקציה הלוגיסטית היא פונקציה היפרבולית:

$f(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})$

או

$\tanh(x)=2\,f(2x)-1$.

על בסיס:

$\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1$.

נגזרת

לפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית נגזרת הניתנת לחישוב:

• $f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}$
• ${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x)(1-f(x))$

עבור הנגזרת של הפונקציה הלוגיסטית מתקיימת התכונה:

${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {d}{dx}}f(-x).$

פונקציה קדומה

את הפונקציה הקדומה של הפונקציה הלוגיסטית ניתן לחשב בעזרת אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים $u=1+e^{x}$, כיוון ש $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$, אז (בהשמטת קבוע האינטגרציה):

$\int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\log u=\log(1+e^{x})$

ברשתות עצביות מלאכותיות, זה ידוע כפונקציה ה-"softplus".

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה לוגיסטית בוויקישיתוף

• פונקציה לוגיסטית, באתר MathWorld (באנגלית)