הקבוצה הנגזרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה; מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- . את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה, הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי ללמוד את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסגור של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד , ולכן A סגורה אם ורק אם . הקבוצה A נקראת קבוצה מושלמת, אם : הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף נקודה מבודדת.

"קבוצה דקה" (meager set) היא קבוצה שאפשר להציג כאיחוד של קבוצות בעלות נגזרת ריקה.

הנגזרת קובעת את הטופולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים לכל קבוצה A.

אפשר לאפיין את הטופולוגיה של המרחב באמצעות הקבוצות הנגזרות. כאופרטור מתת-קבוצות לתת-קבוצות של המרחב, הנגזרת מקיימת את התכונות הבאות:

  1. ;

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת של הקבוצה המשלימה.

דרגת קנטור-בנדיקסון[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מספר סודר אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר של מרחב טופולוגי X, באינדוקציה טרנספיניטית:

  • .
  • .
  • לכל סודר גבולי .

סדרת הנגזרות של כל מרחב נתון מוכרחה לעצור בסופו של דבר, והסודר הקטן ביותר שעבורו נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]