משפט קנטור-בנדיקסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה.

המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול, מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות.

משפט קנטור-בנדיקסון. לכל סגורה קיימת מושלמת ו- בת-מנייה, כך ש- ו-.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם קבוצה סגורה בישר שדרגתה אז קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע ש- בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר.

תהי סגורה. נתייחס ל- כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של היא נקודה שכל סביבה שלה (ב-) אינה בת-מנייה. תהי קבוצת נקודות העיבוי של .

נוכיח כי בת-מנייה. הוא בסיס בן-מנייה של . תהי קבוצת כל איברי שהן קבוצות בנות-מנייה.

כל אינה נקודת עיבוי, כי סביבה בת-מנייה, ולכן . מצד שני, לכל יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן . מכאן ש- בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה.

נוכיח כי ל- אין נקודות מבודדות. תהי ותהי סביבה שלה. מכיוון ש- נקודת עיבוי אינה בת-מנייה. בת-מנייה ולכן מכילה אינסוף נקודות. אולם , ולכן מכילה אינסוף נקודות של , כלומר לא מבודדת ב-.

כדי להוכיח ש- מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב-. סגורה ב- כי פתוחה ב- כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת סגורה ב- כך ש-. לכן סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות.

הקשר להשערת הרצף[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה ) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.