הרכבת פונקציות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
\ (g \circ f)(x), הרכבה של \ g על \ f

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם \ f פונקציה מ-\ X ל-\ Y ו-\ g פונקציה מ-\ Y ל-\ Z, אז ההרכבה \ g \circ f (בסדר זה) היא הפונקציה מ-\ X ל-\ Z המוגדרת לפי \ (g \circ f)(x) = g(f(x)). ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה (\ f) מוכל או שווה לתחום של הפונקציה השנייה (\ g).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את \ h על \ g ואת \ g על \ f, אז \ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה הוא מונויד. פונקציה שהיא חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת \ g כך שההרכבות \ f \circ g ו- \ g \circ f הן פונקציית הזהות על \ X.

הרכבה של פונקציות ממשיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה \ f(x) = e^{\sin(x^2)} היא ההרכבה \ f=  \exp \circ \sin \circ s כאשר \ s(x) = x^2 ו- \ \exp(x) = e^x.

גבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם f\,ו-g\, פונקציות שעבורן \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0 וכן גם \lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=L (עבור x_0,y_0,L כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות g \circ f קיים ושווה ל-\lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x)=g\left(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\right)=L אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים: g רציפה ב-y_0 (כלומר L = g(y_0)) או שקיימת סביבה מנוקבת של x_0 שבה f(x) \neq y_0. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.