הרכבת פונקציות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
, הרכבה של על

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם פונקציה מ- ל- ו- פונקציה מ- ל-, אז ההרכבה (בסדר זה) היא הפונקציה מ- ל- המוגדרת לפי . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה () מוכלת או שווה לתחום של הפונקציה השנייה ().

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את על ואת על , אז . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה הוא מונויד. פונקציה שהיא חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת כך שההרכבות ו- הן פונקציית הזהות על .

הרכבה של פונקציות ממשיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה היא ההרכבה כאשר ו- .

גבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם ו- פונקציות שעבורן וכן גם (עבור כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות קיים ושווה ל- אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים: g רציפה ב- (כלומר ) או שקיימת סביבה מנוקבת של שבה . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.