חוק בנפורד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ההסתברות המצטברת עבור הספרה המשמעותית ביותר של משתנה מקרי X בעל התפלגות מעריכית עם פרמטר \ \theta. הגרף התחתון מתאר את הסיכוי שהספרה הראשונה תהיה 1, זה שאחריו את הסיכוי שהיא תהיה 1 או 2, וכן הלאה. סדר השכיחויות קבוע (k שכיח מ-k+1), אבל עוצמת האפקט תלויה בהתפלגות ממנה נדגם X.
ההתפלגות על פי חוק בנפורד. משמאל - ההסתברות באחוזים לקבלת הספרה הראשונה

חוק בנפורד, או חוק הספרה הראשונה, הוא כלל היוריסטי ואמפירי אודות ההסתברות של הופעת ספרות בנתונים של אוכלוסיות טבעיות גדולות. החוק נתגלה ב-1881 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום סיימון ניוקום. הוא נקרא על שמו של הפיזיקאי פרנק אלפרד בנפורד, שגילה אותו מחדש ב-1938.

חוק בנפורד תקף, אמפירית, עבור ערכים המפוזרים על-פני כמה סדרי גודל. הוא חל על אוכלוסיות מגוונות - גובהי בניינים, אורכי כבישים, חשבונות חשמל, מחירי מניות, הוצאות בחברות גדולות ועוד. לפי הגרסה החלשה של החוק, השכיחות של הספרה 1, כספרה המובילה, גבוהה מזו של 2, וכן הלאה, עד לספרה 9 שהיא הנדירה ביותר. כך למשל, אם נתבונן ברשימת גדלי האוכלוסייה ביישובים בישראל (31,000, 48,000, 112,000, 2,500 וכן הלאה) נגלה שבין הספרות הראשונות בכל מספר, ספרות נמוכות (1 או 2) מופיעות בשכיחות גבוהה יותר מאשר ספרות גבוהות (8 או 9).

גם ניוקום וגם בנפורד הגיעו למסקנה זו מבחינת אותה ראיה מרשיעה: ההתבלות הלא-אחידה של הדפים בטבלאות לוגריתמים.

התפלגות בנפורד נובעת מהנחה שכאשר כותבים את המשתנה בבסיס b, ההסתברות של ספרה מסוימת להופיע אינה תלויה במיקום שלה בתוך המספר[1]. מההנחות האלה נובעת גרסה חזקה של החוק, שלפיה שההסתברות לכך שמספר כלשהו באוכלוסייה יתחיל בספרה \ n=1,\ldots,9 ניתנת לחישוב, ושווה ל-  P(n) = \log_{10}\left( 1+ \frac{1}{n}\right) . החוק חל על הספרה הראשונה של המספרים, וכן, במידה פחותה והולכת, גם על שתי הספרות הראשונות, השלוש הראשונות, וכן הלאה.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בחוק בנפורד לצורך זיהוי הונאה באוכלוסיות מספרים שהחוק חל עליהן. לדוגמה, כדי לבצע בדיקת אמינות של דיווחי מס, או כדי לבדוק האם תוצאות הבחירות 2009 באיראן זויפו או לא, נבדקה התאמתן לצפי מחוק בנפורד.[2]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Theodore Hill, Base-Invariance Implies Benford's law, Proc AMS, 123(3), 1995
  2. ^ Does the Iranian election stand up to statistics?, מגזין פלוס (באנגלית)