טיוטה:מטריקת פרידמן–למאטר–רוברטסון–ווקר

מטריקת פרידמן-למיאטר-רוברטסון-ווקר (ידועה בקיצור FLRW) היא מטריקה המבוססת על פתרון מדויק של משוואות השדה של איינשטיין של תורת היחסות הכללית. המטריקה מתארת יקום הומוגני, איזוטרופי, מתרחב (או מתכווץ באופן אחר) וקשיר, אך לא בהכרח פשוט קשר. הצורה הכללית של המטריקה נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיה; משוואות השדה של איינשטיין נחוצות רק כדי לגזור את פרמטר הסקלה של היקום כפונקציה של זמן. בהתאם להעדפות גאוגרפיות או היסטוריות, לעיתים המטריקה נקראת על שם חלק מארבעת ממציאיה - אלכסנדר פרידמן, ז'ורז' למאיטר, הווארד פ. רוברטסון וארתור ג'פרי ווקר, בשמות FRW, RW ו-FL. מודל ה-FLRW פותח באופן עצמאי על ידי ארבעת המדענים באופן בלתי-תלוי בשנות ה-20 וה-30 של המאה ה-20.

המטריקה הכללית

מטריקת FLRW מתחילה בהנחה של הומוגניות ואיזוטרופיה של היקום. היא גם מניחה שהרכיב המרחבי של המטריקה יכול להיות תלוי זמן. המטריקה הגנרית במצב כזה היא מהצורה

$-c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}$

כאשר $\mathbf {\Sigma }$ הוא אלמנט נפח של מרחב תלת־ממדי בעל עקמומיות אחידה, כלומר מרחב אליפטי (אנ') (הכללה של מרחב ספרי), מרחב אוקלידי או מרחב היפרבולי. בדרך כלל הוא כתוב כפונקציה של שלוש קואורדינטות מרחביות, וישנן מספר מוסכמות לעשות זאת, המפורטות מטה. $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ אינו תלוי בזמן, כל התלות בזמן היא בפונקציה $a(t)$, המכונה "פרמטר הסקלה של היקום".

קואורדינטות קוטביות עם רדיוס אחיד

בקואורדינטות קוטביות, תחת הנחה של רדיוס עקמומיות אחיד, יש למטריקה את הצורה:

$\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.$

כאשר $k$ הוא קבוע המייצג את עקמומיות היקום. ישנן שתי מוסכמות נפוצות עבורו:

• ניתן לקחת את $k$ עם יחידות של הופכי של שטח, ובמקרה זה ל-r יש יחידות של אורך ו-$a(t)$ חסר יחידות. במקרה זה, ניתן לפרש את $k$ בתור העקמומיות של היקום כאשר $a(t)=1$. לעיתים מגדירים $a(t)=1$ בהווה, ואז $\mathrm {d} \mathbf {\Sigma }$ הוא מרחק קומובינג (אנ').
• ניתן לקחת את $k=0,\pm 1$ במקום (בשביל עקמומיות אפס, שלילית או חיובית בהתאמה). במקרה זה r הוא חסר יחידות ול-$a(t)$ יש יחידות של מרחק. $a(t)$ הוא רדיוס העקמומיות של היקום, ולעיתים נכתב בתור $R(t)$.

החיסרון של קואורדינטות אלו הוא שהן מכסות רק מחצית מהכדור במקרה של עקמומיות חיובית - היקפים מעבר לנקודה זו מתחילים לרדת, מה שמוביל לניוון. (זו לא בעיה אם המרחב הוא אליפטי, כלומר כדור עם נקודות הפוכות מזוהות).

עקמומיות

קואורדינטות קרטזיות

במרחב FLRW שטוח $(k=0)$, הרכיבים ששרדו בטנזור Ricci בקואורדינטות קרטזיות הם

$R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})$

והסקלר של Ricci הוא

$R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).$

קואורדינטות כדוריות

ביקום FLRW כללי יותר באמצעות קואורדינטות כדוריות, הרכיבים השורדים של טנזור Ricci הם

$R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},$

$R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}$

$R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)$

$R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )$

והסקלר של Ricci הוא

$R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).$

פתרונות

תבנית:Relativityמשוואות השדה של איינשטיין אינן משמשות במציאת הצורה הכללית של המטריקה: היא נובעת מהתכונות הגאומטריות של הומוגניות ואיזוטרופיה. עם זאת, קביעת ההתפתחות בזמן של $a(t)$ דורשת את משוואות השדה של איינשטיין יחד עם דרך לחישוב הצפיפות, $\rho (t)$, כמו משוואת מצב קוסמולוגית.

למטריקה יש פתרון אנליטי למשוואות השדה של איינשטיין $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$ - הוא נותן את משוואות פרידמן כאשר טנזור התנע-אנרגיה נלקח כמפורט לעיל, כאיזוטרופי והומוגני. המשוואות המתקבלות הן:

$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho$

$2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.$

משוואות אלו הן הבסיס של המודל הקוסמולוגי הסטנדרטי של המפץ הגדול, כולל מודל ΛCDM הנוכחי.

• North J D: (1965) The Measure of the Universe – a history of modern cosmology, Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, מסת"ב 0-486-66517-8
• Harrison, E. R. (1967), "Classification of uniform cosmological models", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 137: 69–79, Bibcode:1967MNRAS.137...69H, doi:10.1093/mnras/137.1.69
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models