קבוצה פתוחה

באנליזה מתמטית, קבוצה פתוחה במרחב מטרי היא קבוצה המכילה כדור סביב כל נקודה שלה. אם כך, במרחבים מטריים מושג הקבוצה הפתוחה מוגדר על פי המטריקה, שהרי זו קובעת את הכדורים. מאידך, בטופולוגיה הכללית, מושג הקבוצה הפתוחה הוא מושג יסודי: קבוצה היא פתוחה אם היא שייכת לטופולוגיה.

בכל מרחב מטרי, הכדור הפתוח $B_{a}(r)=\{x:d(x,a)<r\}$ הוא בעצמו קבוצה פתוחה, משום שלכל x בכדור מתקיים לפי אי-שוויון המשולש כי $B_{x}(r-d(a,x))\subseteq B_{a}(r)$. עובדה זו מראה שבהגדרת הקבוצה הפתוחה אין הבדל בין הדרישה שהקבוצה U תכיל כדור ש*מרכזו* x לכל נקודה x ב-U, לבין הדרישה שהקבוצה תכיל כדור *המכיל* את x לכל x ב-U. באופן אינטואיטיבי, בקבוצה פתוחה אף נקודה אינה "על הקצה": תמיד ניתן לזוז מעט בכל כיוון במרחב מבלי לצאת מהקבוצה. לעומת זאת הקטע $[0,1]$ אינו פתוח, כי לנקודה $1$ אין סביבה בשום גודל שכולה מוכלת בקטע (אם ניקח את $x=1$ ונזוז אפילו מעט בכיוון החיובי, נימצא מחוץ לקטע הנתון).

קבוצה פתוחה והפנים

בכל מרחב טופולוגי X, הפנים של קבוצה A הוא הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר $A^{\circ }$ המוכלת ב-A. מושג זה מוגדר, משום שהאיחוד של משפחה כלשהי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה; אם כך הפנים של A הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-A.

לפנים יש כמה תכונות חשובות: הוא מונוטוני (כלומר $A^{\circ }\subseteq A$); אידמפוטנטי (כלומר $A^{\circ \circ }=A^{\circ }$); שומר חיתוך ($(A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$); ואינו משנה את המרחב ($X^{\circ }=X$). גם להפך, כל אופרטור על תת-הקבוצות של X המקיים את ארבע התכונות האלה מגדיר טופולוגיה שבה הוא מהווה אופרטור הפנים (הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן בדיוק אלה המקיימות $A^{\circ }=A$).

תכונות

• הקבוצה הריקה והישר כולו הן קבוצות פתוחות (וגם סגורות);
• האיחוד - לאו דווקא סופי - של קבוצות פתוחות מהווה קבוצה פתוחה;
• החיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח, אבל זה לא נכון עבור חיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות (ראו דוגמה בהערות);
• המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה.

הערות

החיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות לא בהכרח קבוצה פתוחה. לדוגמה, החיתוך האינסופי של הקטעים הפתוחים: $\left(1-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right)$ בממשיים הוא $\{1\}$, וזוהי קבוצה לא פתוחה עם המטריקה הרגילה.

נשים לב ש'פתיחות' קבוצה מסוימת תלויה במרחב בו היא מוגדרת. למשל, אם $U$ מוגדרת כקבוצת המספרים הרציונליים בקטע $(0,1)$ אז $U$ פתוחה בקבוצת המספרים הרציונליים (דהיינו, בטופולוגיה המושרית עליהם מהטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים). זאת מכיוון שבמקרה זה אין מספרים אי רציונליים אליהם אנו יכולים לזוז ולכן התזוזה הקטנה ביותר האפשרית היא ממספר רציונלי אחד למשנהו (שכידוע יכולה להיות קטנה כרצוננו). בנוסף, לא משנה עד כמה איבר של $U$ קרוב ל-$0$ או ל-$1$ תמיד קיים מספר רציונלי בין האיבר ל-$0$ או ל-$1$ אליו ניתן לזוז מבלי לצאת מ-$U$. כאשר מתייחסים לקבוצה כתת-קבוצה של המספרים הממשיים הקבוצה אינה פתוחה. זאת מכיוון שבין כל שני מספרים רציונליים נמצאים אינסוף מספרים אי רציונליים לא ניתן לזוז מאיבר ב-$U$ אפילו מעט לאחד הכיוונים מבלי לעבור במספרים אי רציונליים (שאינם שייכים ל-$U$).

בנוסף נשים לב כי ישנן קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות: דהיינו פתיחות וסגירות של קבוצה הן לא דבר והיפוכו. ב-$\mathbb {R}$ ובמרחבים קשירים אחרים רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם סגורים וגם פתוחים. ברציונליים למשל, קבוצת כל המספרים הרציונליים הקטנים מהשורש הריבועי של שתיים היא גם פתוחה וגם סגורה.

כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא פתוחה ולא סגורה (למשל $(0,1]$ בישר הממשי).

ראו גם

• קבוצה סגורה
• סביבה
• קבוצה כמעט פתוחה

קישורים חיצוניים

• קבוצה פתוחה, באתר MathWorld (באנגלית)