למת החמישה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית וביישומים אחרים של התורה של קטגוריות אבליות, למת החמישה היא למה בעלת חשיבות בנוגע לדיאגרמות קומוטטיביות. למת החמישה תקפה לא רק בקטגוריות אבליות אלא למשל גם בקטגורית החבורות.

ניסוח הלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי נתונה הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה בקטגוריה אבלית כלשהי (או לחלופין בקטגורית החבורות):

FiveLemma.png

למת החמישה טוענת כי אם השורות בדיאגרמה זו הן מדויקות, אם m ו-p הם איזומורפיזמים, l הוא אפימורפיזם ו-q הוא מונומורפיזם, אזי גם n הוא איזומורפיזם.

למת החמישה נובעת מידית מזוג למות הדואליות זו לזו הנקראות למות הארבעה. ניסוחן של למות הארבעה:

  • הלמה הראשונה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:
FourLemma01.png

וכי m ו-p הם אפימורפיזמים ו-q הוא מונומורפיזם, אזי n הוא אפימורפיזם.

  • הלמה השנייה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:
FourLemma02.png

וכי m ו-p הם מונומורפיזמים ו-l הוא אפימורפיזם, אזי n הוא מונומורפיזם.

את הוכחת הלמה ניתן למצוא כאן.