למת החמישה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית וביישומים אחרים של התורה של קטגוריות אבליות, למת החמישה היא למה בעלת חשיבות בנוגע לדיאגרמות קומוטטיביות. למת החמישה תקפה לא רק בקטגוריות אבליות אלא למשל גם בקטגוריית החבורות.

ניסוח הלמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי נתונה הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה בקטגוריה אבלית כלשהי (או לחלופין בקטגורית החבורות):

FiveLemma.png

למת החמישה טוענת כי אם השורות בדיאגרמה זו הן מדויקות, אם m ו-p הם איזומורפיזמים, l הוא אפימורפיזם ו-q הוא מונומורפיזם, אזי גם n הוא איזומורפיזם.

למת החמישה נובעת מידית מזוג למות הדואליות זו לזו הנקראות למות הארבעה. ניסוחן של למות הארבעה:

  • הלמה הראשונה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:
FourLemma01.png

וכי m ו-p הם אפימורפיזמים ו-q הוא מונומורפיזם, אזי n הוא אפימורפיזם.

  • הלמה השנייה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:
FourLemma02.png

וכי m ו-p הם מונומורפיזמים ו-l הוא אפימורפיזם, אזי n הוא מונומורפיזם.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת למות מסוג זה נעשית על ידי מרדף דיאגרמות: מעבר של איברים בדיאגרמה בעזרת מורפיזמים, תוך שימוש בתכונות שלהם. זוהי שיטה נוחה להוכחת טענות כלליות בתורת הקטגוריות, התלויות בתכונות שונות של מורפיזמים. ההוכחה עצמה לרוב טריוויאלית ומשתמשת כמעט ישירות בהגדרות.

הלמה הראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להוכיח ש-n הוא על, נניח ש-a_1 \in C'. נסמן a_2=t(a_1). השורה התחתונה מדויקת ו-a_2 \in Im(t), ולכן u(a_2)=0. נתון ש-p על, לכן יש a_3 \in D כך ש-p(a_3)=a_2, ונסמן a_4=j(a_3) \in E. לכן, לפי התחלפות הריבוע הימני נקבל q(a_4)=0, ומכך ש-q חח"ע נקבל a_4=0. השורה העליונה מדויקת, לכן יש a_5 \in C כך ש-h(a_5)=a_3, ונסמן a_6=n(a_5) \in C' (שימו לב שלא נובע ש-n(a_5)=a_1!). כעת, לפי התחלפות הריבוע האמצעי, נקבל כי t(a_6)=a_2=t(a_1), ומכך ש-t הומומורפיזם נובע t(a_1-a_6)=0. מדויק השורה התחתונה, נובע שקיים a_7 \in B' כך ש-s(a_7)=a_1-a_6. נתון ש-m על, ולכן יש a_8 \in B כך ש-m(a_8)=a_7. נסמן a_9=g(a_8) \in C. לבסוף, לפי התחלפות הריבוע השמאלי n(a_9)=s(a_7)=a_1-a_6. בסך הכל, שני האיברים a_1-a_6,a_6 \in C' שניהם מתקבלים בתמונת n, ולכם גם סכומם (מפורשות, n(a_9+a_5)=a_1).

אפשר לשים לב שבאף מקום בהוכחה אין שימוש בחילופיות הפעולה (סמנטית, אפשר לכתוב אותם הוכחות עם פעולת כפל במקום חיבור).

ההוכחה על הדיאגרמה:

FourLemma01 proof.png

הלמה השנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

התמלול וההוכחה המלאה היא בדומה לעיל. ההוכחה על הדיאגרמה:

FourLemma02 proof.png

בסוף ההוכחה, מכך ש-m חח"ע נובע ש-a_3=a_7, ולכן לפי דיוק השורה העליונה a_1=0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]