מבחן F

מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס. השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George W. Snedecor), כמחווה לרונלד פישר.

דוגמאות למבחן F

להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.

בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

דוגמה להשוואה בין שונויות

יהיו $X_{1},...,X_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ ו- $Y_{1},...,Y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות. נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו: $H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ $H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית: ${\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}$ ${\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}$

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: $L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}$

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן ${\hat {\sigma }}_{0}^{2}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}$ . כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא: $L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}$

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא: $\lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}$ ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

$\lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}$

כעת, נביט בסטטיסטי $T(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$ . נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, $\lambda (X,Y)$ שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם $T(X,Y)>C_{1}$ או $T(X,Y)<C_{2}$ , כאשר רמת הביטחון מקיימת $\alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)$ .

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: ${\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}={\frac {S_{Y}^{2}}{S_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi _{m-1}^{2}/(m-1)}{\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}=F_{m-1,n-1}$

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי $T'(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}$ . כדי לקבל אותו, נחלק ב- $n-1,m-1$ את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים: