מידה חיצונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת המידה, מידה חיצונית היא פונקציה מקבוצת החזקה של קבוצה נתונה, אל המספרים הממשיים המוכללים (כולל אינסוף ומינוס אינסוף), המקיימת תכונות דומות לאלו של אורך. ייחודה והשוני שלה ממידה רגילה הוא שהיא מוגדרת על כל תתי הקבוצות של קבוצה נתונה. חשיבותה המרכזית היא בהגדרת מידת לבג, שהיא צמצום מידה חיצונית על הממשיים לקבוצות מדידות. עם זאת, למושג בפני עצמו יש חשיבות, והוא חלק מתורת המידה הכללית (שלא תלויה בהכרח בממשיים).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי קבוצה, ונסמן ב- את קבוצת החזקה שלה, וב- את המספרים הממששים המוכללים (כלומר, המספרים הממשיים שמוסיפים להם את ).

מידה חיצונית על היא פונקציה , המקיימת:

  • קבוצה ריקה אפסה -
  • מונוטוניות -
  • תת-אדטיביות -

מידה חיצונית נקראת סופית אם , וסיגמא-סופית אם , עם .

תת קבוצה נקראת מדידה ביחס ל, אם מתקיים .

בניית מידה חיצונית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נציג כעת בנייה של מידה חיצונית.

תהי קבוצה, ו- משפחת תתי קבוצות שלה, עם . נניח כי כך ש-. נגדיר

.

(אם לא קיים כיסוי כמו בהגדרה, מגדירים את המידה החיצונית להיות אינסוף).

בדרך כלל (ובפרט בבניית מידת לבג ובמשפט ההרחבה של קרתאודורי), לוקחים את משפחת הקבוצות להיות חוג (קבוצת קבוצות לא ריקה הסגורה לאיחוד והפרש קבוצות), ואת להיות מידה-חוגית עליו (כלומר פונקציה שמקיימת את התכונות הרגילות של מידה, רק על חוג ולא על סיגמא-אלגברה, והתכונה האחרונה (סיגמא-אדטיביות) רק כאשר האיחוד האינסופי שייך למשפחה).

תכונות ודוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • קבוצת הקבוצות המדידות כפי שהוגדרו לעיל היא סיגמא-אלגברה. צמצום המידה החיצונית על סיגמא-אלגברה זו מהווה מידה. יתרה מזאת, מרחב המידה שמתקבל הוא שלם.
  • אם אז מדידה, ו-.
  • בשל הגדרתה על כל תתי הקבוצות, מידה חיצונית היא "כללית מדי". במילים אחרות, אי אפשר לדרוש עבורה תכונות שמקיימת מידה על סיגמא-אלגברה כלשהי, כמו סיגמא-אדיטיביות. בפרט, אי אפשר להגדיר אינטגרל על כל קבוצה עם מידה חיצונית.
  • מידות מוכרות רבות מתקבלות מבניית מידה חיצונית וצמצומה על סיגמא אלגברה כלשהי (בדיוק כמו במקרה של מידת לבג). דוגמה למידה כזו היא מידת האוסדורף (ראו גם כאן),

דוגמאות נוספות ראו בקריאה נוספת.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 216-224