קבוצת החזקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה היא קבוצת כל תת הקבוצות של , ומסמנים אותה ב-. פורמלית , ולדוגמה: . במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי שווה ל- (שתיים בחזקת עוצמת ), ובניסוח מתמטי: . בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של בסימון , ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-.
  • קבוצת החזקה של איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של , היא (כל תת-קבוצה מתאימה לפונקציה המציינת שלה ). לכן הסימון לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם ). זו המוטיבציה לסימון שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של ("" מתאים לקבוצה בת שני האיברים ).
  • משפט קנטור מראה כי אי השוויון שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף