קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה $\ A$ היא קבוצת כל תת הקבוצות של $\ A$ , ומסמנים אותה ב- ${\mathcal {P}}(A)$ . פורמלית ${\mathcal {P}}(A)=\left\{x|x\subseteq A\right\}$ , ולדוגמה: ${\mathcal {P}}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$ . במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי $\ A$ שווה ל- $\ 2^{|A|}$ (שתיים בחזקת עוצמת $\ A$ ), ובניסוח מתמטי: $\left|{\mathcal {P}}(A)\right|=2^{|A|}$ . בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של $\ A$ בסימון $\ 2^{|A|}$ .
קבוצת החזקה של $\ A$ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות: $\ \lbrace 0,1\rbrace ^{A}=\lbrace 1_{x}:A\to \lbrace 0,1\rbrace |x\subseteq A\rbrace$ ולכן הסימון $\ 2^{|A|}$ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם $\ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1\rbrace ^{A}|$ )
משפט קנטור מראה כי אי השוויון $\left|{\mathcal {P}}(A)\right|>|A|$ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה $\ A$ .