קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה $A$ היא קבוצת כל תת הקבוצות של $A$, ומסמנים אותה ב-${\mathcal {P}}(A)$. פורמלית ${\mathcal {P}}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}$, ולדוגמה: ${\mathcal {P}}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי $A$ שווה ל-$2^{|A|}$ (שתיים בחזקת עוצמת $A$), ובניסוח מתמטי: $\left|{\mathcal {P}}(A)\right|=2^{|A|}$. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של $A$ בסימון $2^{|A|}$, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב-$2^{A}$.
• קבוצת החזקה של $A$ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת-קבוצות של $A$, היא $\{0,1\}^{A}=\{f\mid f\colon A\to \{0,1\}\}$ (כל תת-קבוצה $B\subseteq A$ מתאימה לפונקציה המציינת שלה $\mathbf {1} _{B}\in \{0,1\}^{A}$). לכן הסימון $2^{|A|}$ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם $2^{|A|}=|\lbrace 0,1\rbrace ^{A}|$). זו המוטיבציה לסימון $2^{A}$ שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של $A$ ("$2$" מתאים לקבוצה בת שני האיברים $\{0,1\}$).
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון $\left|{\mathcal {P}}(A)\right|>|A|$ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה $A$.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)