מעגל תשע הנקודות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:56, 21 בפברואר 2011

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

אמצעי הצלעות
עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר זווית - חמש ובמשולש ישר זווית ושווה שוקיים (משולש כסף) - ארבע.

תכונות

המרכז של מעגל תשע הנקודות נמצא על ישר אוילר (ישר העובר דרך מפגש התיכונים, מפגש הגבהים ומרכז המעגל החוסם את המשולש).
אורכו של רדיוס מעגל אוילר שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.

המעגל משיק מבפנים למעגל החוסם את המשולש, ולעוד שלושה מעגלים המשיקים למשולש מבחוץ (תכונה זאת מודגמת בתמונה).

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[תמונה:Feuerbach Circle.jpeg|שמאל|ממוזער|350px|מעגל תשע הנקודות. תשע הנקודות מסומנות בכחול, הגבהים בירוק והמעגל באדום]]
-ב[[גאומטריה]], '''מעגל תשע הנקודות''' (נקרא גם "'''מעגל אוילר'''" או "'''מעגל פיירבך'''") הוא מעגל העובר ב[[משולש]] כלשהו דרך תשע ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] הבאות:
+ב[[גאומטריה]], '''מעגל תשע הנקודות''' (נקרא גם "'''מעגל אוילר'''" או "'''מעגל פיירבך'''") הוא [[מעגל]] העובר ב[[משולש]] כלשהו דרך תשע ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] הבאות:
 * אמצעי הצלעות
-* עקבי ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]], כלומר הנקודות בהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
+* עקבי ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]], כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
-* אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים
+* אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.
-המעגל התגלה לראשונה ב-[[1765]] על ידי [[לאונרד אוילר]]. ב-[[1822]] הוא התגלה מחדש על ידי [[קרל וילהלם פיירבך]], שגילה שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים. זמן קצר לאחר מכן גילה [[אולרי טרקם]] שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.
+בשנת [[1765]] גילה [[לאונרד אוילר]] שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-[[1822]] גילה [[קרל וילהלם פיירבך]], שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים. זמן קצר לאחר מכן גילה [[אולרי טרקם]] שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.
-אף על פי שעל פי שמו של המעגל הוא עובר דרך תשע נקודות, בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות: ב[[משולש שווה שוקיים]] ישנן שמונה נקודות, ב[[משולש שווה צלעות]] שש, ב[[משולש ישר זווית]] חמש ובמשולש ישר זווית ושווה שוקיים (משולש כסף) ארבע.
+בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: ב[[משולש שווה שוקיים]] ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש שווה צלעות]] - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), ב[[משולש ישר זווית]] - חמש ובמשולש ישר זווית ושווה שוקיים (משולש כסף) - ארבע.
 ==תכונות==
@@ שורה 13: / שורה 14: @@
 [[תמונה:Circ9pnt3.svg|שמאל|ממוזער|250px|ארבעת המעגלים המשיקים]]
 *המעגל [[משיק]] מבפנים ל[[מעגל חסום|מעגל החוסם]] את המשולש, ולעוד שלושה מעגלים המשיקים למשולש מבחוץ (תכונה זאת מודגמת בתמונה).
-[[קטגוריה:גאומטריה]] [[קטגוריה:משולש]]
+[[קטגוריה:גאומטריה]]
+[[קטגוריה:משולש]]
+[[קטגוריה:מעגל]]
 [[en:Nine-point circle]]
 [[ar:دائرة النقاط التسعة]]