מרחב דואלי

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V מעל שדה F, או הכללה של מרחב כזה, הוא המרחב של כל הפונקציות מן המרחב לשדה הבסיס. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה לינארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$. המרחב הדואלי של $\ V$ הוא המרחב הווקטורי $\ V^{*}$ שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות $\ V\to F$, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב-$\ V^{*}$ נקרא פונקציונאל לינארי.

אם V בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את אקסיומת הבחירה (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את V כסכום ישר של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא מכפלה ישרה של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.

אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא מרחב מכפלה פנימית, המצב נוח יותר: ההתאמה $\ x\mapsto \varphi _{x}$ כאשר $\ \varphi _{x}:y\mapsto (x,y)$ מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).

לעומת זאת, יש שיכון טבעי $\ V\hookrightarrow V^{**}$ אפילו ללא מכפלה פנימית: הוקטור x מתאים לפונקציונל $\ s_{x}:V^{*}\rightarrow F$ המוגדר על-ידי $\ s_{x}(f)=f(x)$. גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.

המרחב הדואלי של מרחב בנך

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה המספרים הממשיים $\ \mathbb {R}$ או מעל שדה המספרים המרוכבים $\ \mathbb {C}$, שנסמן ב-F. כמו בכל מרחב וקטורי, פונקציונל $\ \Phi :X\to F$ הוא פונקציה לינארית מן המרחב אל שדה הבסיס.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה של אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

$\ \|\Phi \|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|\Phi (x)|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|\leq 1}{|\Phi (x)|}$

אזי תמיד מתקיים ש $\ |\Phi (x)|\leq \|\Phi \|\cdot \|x\|$.

פונקציונל שהנורמה שלו סופית נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב-$\ X^{*}$. זהו מרחב בנך, הקרוי "המרחב הדואלי" של $\ X$. אם X איזומורפי למרחב הדואלי שלו, הוא נקרא מרחב רפלקסיבי. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי, לפי משפט ההצגה של ריס.

הבסיס הדואלי

נניח כי $\ V$ מממד סופי ויהי $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ בסיס עבורו.

נסמן ב-$\ v_{i}^{*}$ את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על $\ v_{i}$ ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה $\ \left\{v_{i}^{*}\right\}_{i=1}^{n}$ מהווה בסיס ל-$\ V^{*}$ שיקרא הבסיס הדואלי. בסיס זה מקיים את כלל הדלתא של קרונקר - $\ v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.

אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כוקטורי קואורדינטות, אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא מכפלה סקלרית.

ראו גם

• אופרטור צמוד