פונקציה קבועה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־18:36, 2 באוגוסט 2006

פונקציה קבועה היא פונקציה שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. ניתן לבטא את העובדה הזו על ידי הנוסחה: $\ f:A\to B\ \ ,\forall x_{1},x_{2}\in A\ f(x_{1})=f(x_{2})$ או $\ f(x)=C$ . לדוגמא הפונקציה $\ f(x)=1$ היא פונקציה קבועה, לעומת זאת, הפונקציה $\ f(x)=x$ מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלדוגמה $\ f(0)\neq f(1)$ .

תכונות

עבור פונקציות ממשיות המוגדרות על קבוצה פתוחה וקשירה, פונקציה היא קבועה אם ורק אם היא גזירה ונגזרתה שווה ל- 0 בכל נקודה.

באופן כללי יותר, פונקציה של הרבה משתנים, כלומר פונקציה קבוצה פתוחה וקשירה במרחב האוקלידי ה-n ממדי, $\ \mathbb {R} ^{n}$ , לממשיים היא קבועה אם ורק אם הגרדיאנט שלה מתאפס בכל התחום.

הגרף של פונקציה קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה- x.

בכל מרחב טופולוגי הפונקציות הקבועות הן פונקציות רציפות.

הגדרות קשורות

במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת קבועה באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה שבה הפונקציה קבועה. פונקציות כאלו הן תמיד רציפות.

תבנית:קצרמר מתמטיקה

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''פונקציה קבועה''' היא [[פונקציה]] שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. לדוגמא, הפונקציה שמתאימה לכל איבר את הערך 1 היא פונקציה קבועה. כך גם הפונקציה שמתאימה לכל איבר את הערך 2. לעומת זאת, הפונקציה <math> \ f(x)=x </math> מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום ש <math> \ f(0)=0 </math> אבל <math> \ f(1)=1 </math>.
+'''פונקציה קבועה''' היא [[פונקציה]] שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. ניתן לבטא את העובדה הזו על ידי הנוסחה:
+<math>\ f:A \to B \ \ ,\forall x_1 , x_2 \in A \ f(x_1) = f(x_2)  </math> או <math>\ f(x)=C</math>.
+לדוגמא הפונקציה <math>\ f(x) = 1</math> היא פונקציה קבועה, לעומת זאת, הפונקציה <math> \ f(x)=x </math> מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלדוגמה <math> \ f(0) \ne f(1) </math>.
 ==תכונות==
-*עבור פונקציות ממשיות המוגדרות על קבוצה פתוחה, פונקציה היא קבועה [[אם ורק אם]] [[נגזרת|נגזרתה]] שווה ל 0 בכל נקודה.
+* עבור פונקציות ממשיות המוגדרות על [[קבוצה פתוחה]] ו[[קשירות (טופולוגיה)|קשירה]], פונקציה היא קבועה [[אם ורק אם]] היא [[נגזרת|גזירה]] ונגזרתה שווה ל- 0 בכל נקודה.
-*באופן כללי יותר, פונקציה של הרבה משתנים, כלומר פונקציה מקבוצה פתוחה ב <math> \ \mathbb{R}^n </math> לממשיים היא קבועה אם ורק אם ה[[גרדיאנט]] שלה מתאפס בכל התחום.
+* באופן כללי יותר, פונקציה של הרבה משתנים, כלומר פונקציה [[קבוצה פתוחה]] ו[[קשירות (טופולוגיה)|קשירה]] [[המרחב האוקלידי|במרחב האוקלידי]] ה-n ממדי, <math> \ \mathbb{R}^n </math> , לממשיים היא קבועה אם ורק אם ה[[גרדיאנט]] שלה מתאפס בכל התחום.
-*ה[[גרף פונקציה|גרף של פונקציה]] קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה x.
+* ה[[גרף פונקציה|גרף של פונקציה]] קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה- x.
+* בכל [[מרחב טופולוגי]] הפונקציות הקבועות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].
+==הגדרות קשורות==
+במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת '''קבועה באופן מקומי''' אם לכל נקודה קיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שבה הפונקציה קבועה. פונקציות כאלו הן תמיד רציפות.
 {{קצרמר מתמטיקה}}