בעיית בזל

בעיית בזל היא בעיה מפורסמת בתורת המספרים, שהוצגה לראשונה בשנת 1644, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. מכיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח הנסיונות המתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פתרונו של אוילר הביא לו תהילה מיידית כאשר הוא היה בן 28. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה מאוחר יותר לברנרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 הוא הגדיר את פונקציית זטא של רימן והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם בזל, עיר הבית של אוילר כמו גם של משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעייה.

בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב הסכום האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי המספרים הטבעיים, כלומר: ? = $\sum _{k=1}^{\infty }1/k^{2}$. טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של טור זה, כלומר להוכחה שסכום זה הוא נכון. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא $\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על מניפולציות שלא נראו עד אז.

פתרונו של אוילר

פתרונו של אוילר לבעייה הוא לגמרי מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי $f(x)=\ sinx$ . נפתח את טור טיילור לפונקציה sin x ונקבל:

$\,\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots$

נחלק ב-x ונקבל:

$\,{\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots$

כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה $\,n\cdot \pi$ כאשר $\,n=\pm 1\pm 2\pm 3\dots$. נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את $\,\sin x/x$ כמכפלת האפסים שלה:

${\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots$

$=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .$

כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של $\,x^{2}$, נקבל כי המקדם של $\,x^{2}$ ב$\,\sin x/x$ הוא

$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

אך מטור טיילור של $\,\sin x/x$, אנו יודעים כי המקדם של $\,x^{2}$ הוא $\,-1/3!=-1/6$. אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך

$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

ועל ידי הכפלת שני האגפים ב −π² נקבל את הדרוש.

פתרון באמצעות אנליזה הרמונית

את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.

תהי $\ f$ פונקציית הזהות $\ f(x)=x$ בקטע $\ [-\pi ,\pi ]$. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זו הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופלים ורק הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).

לכן,

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xdx=0$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)dx=0$

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)dx=$

$={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}$

בסך הכל, טור פורייה של x הוא

$f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )$

כעת נשתמש בזהות פרסבל

${\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx$.

כדי לקבל ש

${\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\frac {1}{\pi }}{\frac {\pi ^{3}}{3}}$

נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

כמבוקש.