מערכת לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מערכת לינארית היא מערכת הניתנת לתיאור על ידי אופרטור לינארי. פונקציה אחת, הנקראת מוצא המערכת, שווה להעתקה לינארית של פונקציה אחרת, הנקראת הכניסה למערכת. פעמים רבות המשתנה התלוי של הפונקציה הוא הזמן. במקרה כזה מערכות לינאריות בזמן רציף מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות לינאריות ומערכות בזמן בדיד על ידי משוואות הפרשים לינאריות.

הלינאריות של מערכת מתבטאת בעקרון הסופרפוזיציה. אם המערכת מתוארת על ידי:

\ y(t)=O(x(t))

כאשר O אופרטור לינארי, אזי לכל שתי כניסות \ x_1(t) ו-\ x_2(t) ולכל שני סקלרים c1 ו-c2 מתקיים:

\  O(c_1x_1(t)+c_2x_2(t))=c_1O(x_1(t))+c_2O(x_2(t))=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)

תגובת הלם[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית התגובה להלם של מערכת לינארית היא יציאת המערכת עבור כניסה בצורת פונקציית דלתא של דיראק, הנקראת הלם:

x(t) = \delta(t-t_1) \,
h(t_1,t_2) \equiv y(t) |_{t=t_2}= O(\delta(t-t_1))_{t=t_2}

זוהי פונקציית גרין של המערכת, ולפי משפט גרין היא קובעת את מוצא המערכת לכל כניסה \ x(t), לפי:

 y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t,s) x(s) ds

מערכות לינאריות בלתי משתנות בזמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפיון מערכות במישור הזמן ובמישור התדר

מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת לינארית שבה גם מתקיים:

\ y(t+\tau)=O(x(t+\tau))

לכל \tau. האופרטור O בהכרח בלתי תלוי מפורשות בזמן (כלומר, אינו תלוי במשתנה t אלא דרך \ x(t)). מערכת כזו יכולה להיות המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית לינארית מהצורה:

\frac{d^n y}{dt^n} + A_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + 
A_1\frac{dy}{dt} + A_0y(t) = B_m\frac{d^m x}{dt^m} + B_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{dt^{m-1}} + \cdots + 
B_1\frac{dx}{dt} + B_0x(t)

כאשר המקדמים A_1...A_n, B_0...B_m הם קבועים שאינם תלוים בזמן, בניגוד למערכת לינארית כללית המתוארת על ידי משוואה שיכולה להשתנות בזמן.

במערכת לינארית בלתי משתנה בזמן, התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, תגובת ההלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין תגובת ההלם לכניסה:

y(t) = x(t) * h(t) = \ \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau

תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב. לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:

\ Y(s) = H(s)X(s)

כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר הקונבולוציה. הפונקציה \ H(s) נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית. במידה וקיימת התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של תגובת ההלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת \ H(\omega) וניתנת לחישוב גם על ידי הצבת s=i\omega בפונקציית התמסורת. תיאור כזה של מערכת לינארית נקרא תיאור במישור התדר, לעומת תיאור המערכת באמצעות תגובת ההלם שלה, הנקרא תיאור במישור הזמן.

מערכות לינאריות בזמן בדיד[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכות בזמן בדיד מתוארות על ידי סדרות המקיימות משוואת הפרשים. פונקציית ההלם בזמן בדיד מוגדרת:

\ \delta[n]={\begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n\ne0 \end{cases}}

ופונקציית התמסורת של מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן היא התמרת Z של סדרת התגובה להלם, השווה ליחס בין התמרות Z של סדרת המוצא והכניסה:

\ H(z)={Y(z) \over X(z)}