קונבולוציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קונבולוציה היא פעולה בינארית בין שתי פונקציות או סדרות ערכים, שיש לה שימושים בהתמרות אינטגרליות כדוגמת התמרת פורייה, בעיבוד אותות, בסטטיסטיקה ובתחומים נוספים במתמטיקה, פיזיקה והנדסה. מקובל לסמן את הקונבולוציה בסימון \ *.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשמעות הגרפית של קונבולוציה

קונבולוציה של פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקונבולוציה (f(t בין שתי הפונקציות (h(t ו-(g(t גם היא פונקציה של t והיא מוגדרת כך:

f(t) = (h*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)g(\tau)d\tau

הקונבולוציה בין הסדרות הבדידות [h[n ו-[g[n מוגדרת:

f[n] = (h*g)[n] = \sum_{m \in Z}^{} h[n-m]g[m]

הקונבולוציה היא סך השטח הכלוא מתחת למכפלת שתי הפונקציות כאשר אחת מהן משוקפת סביב הציר האנכי ומוזזת ב-t. המשתנה t לאו דווקא מסמל זמן, ובתחומים שונים הפונקציות הן של משתנים שונים. ניתן להתייחס לקונבולוציה כממוצע נע משוקלל: (f(t היא הממוצע של הפונקציה (g(τ לפי פונקציית המשקל (h(-τ המוזזת ב-t (או המשתנה עם הזמן).

קונבולוציה של סדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקונבולוציה של הסדרות \ (a_n) ו-\ (b_n) היא הסדרה \ (a*b)_n = a_0 b_n + a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0. בדומה לזה מוגדרת קונבולוציה של טורים כטור המתאים לקונבולוציה של הסדרות המתאימות. לפי משפט קושי (תורת הטורים), הקונבולוציה של טורים המתכנסים בהחלט מתכנסת בהחלט.

קונבולוציה מעגלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הפונקציה g_T(t) היא מחזורית עם מחזור T, כך שניתן לכתוב אותה כסכום:

g_T(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty g(t + kT)

אז הקונבולוציה של g_T(t) עם פונקציה h(t) שאינה מחזורית גם היא מחזורית עם מחזור T וניתן לרשום אותה כך:

f(t) = (h * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\, d\tau,

ניתן לראות זאת כסכימה של השטח מתחת למכפלת מחזור אחד של g_T(t) בהזזות של הפונקציה (h(t, במקום סכימה של השטח מתחת למכפלה של הזזות של מחזור אחד של הפונקציה g(t) בפונקציה h(t). (h * g_T)(t) נקראת הקונבולוציה המעגלית או הקונבולוציה הציקלית של h(t) ו-g(t). כלומר, הקונבולוציה המעגלית של שתי פונקציות שאינן מחזוריות היא קונבולוציה רגילה בין הפונקציה האחת לבין פונקציה מחזורית שמחזור שלה זהה לקטע מן הפונקציה השנייה.

אם נגדיר פונקציה מחזורית h_T(t) כפונקציה שמחזור שלה זהה לקטע מהפונקציה h(t):

h_T(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty h(t + kT)

אז ניתן לכתוב את הפונקציה (h * g_T)(t) כך:

\int_{t_0}^{t_0+T} h_T(\tau) g_T(t - \tau)\, d\tau,

והיא נקראת הקונבולוציה המחזורית של h_T(t) ו-g_T(t). כלומר, הקונבולוציה המחזורית של שתי פונקציות מחזוריות עם מחזור משותף T דומה לקונבולוציה רגילה, אלא שהאינטגרציה נעשית על פני זמן באורך של מחזור אחד T, כאשר to שרירותי.

אינטואיציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לשם המחשת המושג ניקח דוגמה מתחום האקוסטיקה. נניח שאנו נמצאים בחדר אשר מחזיר הד עבור קולות הנשמעים בו. אם נשמיע קול בחדר זה ההד יתנהג בצורה הבאה: לאחר שנייה אחת עוצמת הקול שנשמעת היא חצי מהקול המקורי, לאחר שתי שניות היא רבע ממנו, וכן הלאה. ובאופן כללי: h[t]=\frac{1}{2^t} (כאשר h היא ההגבר). נניח כי מוצב תוף בחדר ואדם מכה בו כל שנייה בעוצמה אחרת, ו- g[t] היא הסדרה המייצגת את עוצמת ההכאה בכל שנייה. אם אנחנו מעוניינים לדעת לאחר זמן מסוים מה תהיה עוצמת הקול בחדר, עלינו לסכום את התרומות של כל הקולות שנעשו מאז תחילת התיפוף ועד הזמן שאנחנו מעוניינים בו. הבעיה היא שעבור כל הכאה בתוף עבר זמן שונה ונצטרך להתחשב בו. הדרך לחשב זאת הוא לחבר את העוצמה שנשמעה ברגע זה עם חצי העוצמה שנשמעה בשנייה הקודמת עם רבע מהעוצמה שנשמעה בשנייה שלפני כן וכן הלאה עד לתחילת התיפוף, כלומר: {\displaystyle g[t]h[0]+g[t-1]h[1]+g[t-2]h[2]+... = \sum_{n=0}^{t} h[n]g[t-n]}ביטוי זה שקיבלנו הינו הקונבולוציה בזמן בדיד אך אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה עבור זמן רציף.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקונבולוציה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, ודיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. לכן היא הופכת את מרחבי הפונקציות שבהן היא מוגדרת לאלגברה קומוטטיבית. הסגירות ביחס לפעולת הקונבולוציה תלויה באוסף הפונקציות: הקונבולוציה של פונקציות רציפות היא רציפה; הקונבולוציה של פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית. הדלתא של דיראק, שאינה פונקציה, משמשת כאיבר יחידה: \left(f*\delta\right)(t)=f(t).

הנגזרת של קונבולוציה מקיימת: \frac{d}{dt}({h} * g) = \frac{dh}{dt} * g = {h} * \frac{dg}{dt} \,

משפט הקונבולוציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקונבולוציה קובע שהתמרת פורייה של קונבולוציה בין שתי פונקציות היא מכפלת ההתמרות שלהן: \mathcal{F}\{h*g\} = \sqrt{2 \pi} \cdot \mathcal{F}\{h\} \cdot \mathcal{F}\{g\}, כאשר \mathcal{F}\{f\} מסמלת הפעלת התמרת פורייה והקבוע \sqrt{2 \pi} משתנה בהתאם לנרמול ההתמרה.

המשוואה ההפוכה היא: \mathcal{F}\{h \cdot g\}=\frac{\mathcal{F}\{h\}*\mathcal{F}\{g\}}{\sqrt{2\pi}}.

כמו כן, ניתן לכתוב: h*g=\sqrt{2\pi} \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{h\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\}. משפט הקונבולוציה שימושי מאוד משום שהפעלת מכפלה (אף לאחר חישוב התמרות פורייה) מסובכת הרבה פחות מאשר חישוב הקונבולוציה לפי הגדרתה, וכך היא מחושבת באופן נומרי. משפטים מקבילים קיימים עבור התמרת לפלס והתמרת Z.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]