משוואות פרנה-סרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי \gamma : [0,L] \to \mathbb{R}^3 בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה. חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציות עקמומיות ופיתול רגולריות, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.

תהי \vec{\gamma} \in C^3[0,L] עקומה רגולרית (\ | \vec{\gamma}'(s) | \ne 0) וגזירה שלוש פעמים ברציפות בפרמטר הטבעי. נגדיר וקטור משיק על ידי

\ \vec{v}(s) = \vec{\gamma'}(s) = d \vec{\gamma} / ds

מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. כאן אין בחירה יחידה של וקטור נורמלי ולכן נגדיר את \vec{n} באופן הבא:

\vec{n}(s) =  \frac{\gamma''(s)}{| \gamma''(s)|}

נשים לב שגם הוא וקטור יחידה. כאן, מגדירים את העקמומיות להיות

\ k(s) = | \gamma''(s) |

נשלים זוג וקטורים אלה לבסיס אורתונורמלי בעל בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, \vec{b}(s) הניצב לווקטור המשיק ולווקטור הנורמל שמוגדר על ידי

\ \vec{b}(s) = \vec{v}(s) \times \vec{n}(s)

כלומר, על ידי מכפלה וקטורית של הווקטורים הקודמים. וקטור זה נקרא "בי-נורמל", וגם הוא וקטור יחידה.

משוואות פרנה טוענות ש-

  • \vec{v'}(s) = \frac{d}{ds} \vec{v}(s) = +k(s) \vec{n}(s)
  • \vec{n'}(s) = \frac{d}{ds} \vec{n}(s) = -k(s) \vec{v}(s) +\tau(s) \vec{b}(s)
  • \vec{b'}(s) = \frac{d}{ds} \vec{b}(s) = -\tau(s) \vec{n}(s)

כאשר \ k(s) היא העקמומיות ו-\ \tau(s) הוא הפיתול (גודל המודד כמה רחוקה העקומה מלהיות מישורית, עקומה עם פיתול אפס מוכלת כולה במישור דו-ממדי). זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות לינאריות ומסדר ראשון. נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:

 \left[ \begin{array}{c} \vec{v'} \\ \vec{n'} \\ \vec{b'} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & +k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & + \tau(s) \\ 0 & -\tau(s) & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \vec{v} \\ \vec{n} \\ \vec{b} \end{array} \right]

נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית. עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]