משפט דה ברנז'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דֶה בְּרַנְזְ' (נקרא בתחילה השערת בִּיבֶּרְבָּךְ (Bieberbach) או השערת המקדמים), הוא השערה בתורת הפונקציות המרוכבות, שהועלתה בשנת 1916 על ידי לודוויג ביברבך, והוכחה ב-1985 על ידי לואי דה ברנז'[1]. לאחר פרסום ההוכחה, נמצאו להשערה הוכחות קצרות יותר.

ההשערה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה, כלומר פונקציה הולומורפית המוגדרת על עיגול היחידה וחד-חד-ערכית שם. אז המקדמים בפיתוח טיילור של הפונקציה מקיימים .

תוצאות חלקיות לאורך ההיסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשנת 1916, הוכיח ביברבך את הטענה עבור n=2, והעיר שהיא "אולי" נכונה לכל n.[2] צ'ארלס לוונר (Lowener) הוכיח את הטענה למקרה שבו n=3 ב-1923.[3] השיטות של לוונר עמדו בבסיסן של ההוכחות לכמה מקרים נוספים:

  • n=4, ‏ (Garabedian ו-Schiffer ב-1955)[4];
  • n=6, ‏ (Ozawa ב-1969[5] ו-Pederson ב-1968);[6]
  • n=5, ‏ (Pederson ו-Schiffer ב-1972).[7]

דייויד הורוביץ (Horowitz) הוכיח בשנת 1979 כי מתקיים .[8]

דה-בראנז', שהמשיך את רעיונותיו של לוונר, הוכיח כאמור את הטענה לכל n. התוצאה נחשבת לאחת התוצאות החשובות ביותר באנליזה מרוכבת במאה ה-20.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ de Branges, Louis (1985), "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Mathematica 154 (1): 137–152, MR 772434, doi:10.1007/BF02392821 
  2. ^ Bieberbach, L., Ober die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften, 1916, 940-955.
  3. ^ Lowner, K., Untersuchungen tiber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. Math. Ann., 89 (1923), 102-121.
  4. ^ Garabedian, P. R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 4 (1955), 427-455.
  5. ^ Ozawa, M., An elementary proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Kodai Math. Sere. Rep., 21 (1969), 129-132.
  6. ^ Pederson, R. N., A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 31 (1968), 331-351.
  7. ^ Pederson, R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture of the fifth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 45 (1972), 161-193.
  8. ^ Horowitz, David (1978). "A further refinement for coefficient estimates of univalent functions". Proceedings of the American Mathematical Society 71 (2): 217–217. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1978-0480979-0. 
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.