משפט דה ברנז'

משפט דֶה בְּרַנְזְ' (נקרא בתחילה השערת בִּיבֶּרְבָּךְ (Bieberbach) או השערת המקדמים), הוא השערה בתורת הפונקציות המרוכבות, שהועלתה בשנת 1916 על ידי לודוויג ביברבך, והוכחה ב-1985 על ידי לואי דה ברנז'^[1]. לאחר פרסום ההוכחה, נמצאו להשערה הוכחות קצרות יותר.

ההשערה

תהי f פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה, כלומר פונקציה הולומורפית המוגדרת על עיגול היחידה $\ \{z:|z|<1\}$ וחד-חד-ערכית שם. אז המקדמים $\ a_{n}$ בפיתוח טיילור $\ f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$ של הפונקציה מקיימים $\vert a_{n}\vert \leq n\vert a_{1}\vert$ .

תוצאות חלקיות לאורך ההיסטוריה

בשנת 1916, הוכיח ביברבך את הטענה עבור n=2, והעיר שהיא "אולי" נכונה לכל n.^[2] צ'ארלס לוונר (Lowener) הוכיח את הטענה למקרה שבו n=3 ב-1923.^[3] השיטות של לוונר עמדו בבסיסן של ההוכחות לכמה מקרים נוספים:

n=4, ‏ (Garabedian ו-Schiffer ב-1955)^[4];
n=6, ‏ (Ozawa ב-1969^[5] ו-Pederson ב-1968);^[6]
n=5, ‏ (Pederson ו-Schiffer ב-1972).^[7]

דייוויד הורוביץ (Horowitz) הוכיח בשנת 1979 כי מתקיים $\forall n:|a_{n}|\leq 1.0657n$ .^[8]

דה-בראנז', שהמשיך את רעיונותיו של לוונר, הוכיח כאמור את הטענה לכל n. התוצאה נחשבת לאחת התוצאות החשובות ביותר באנליזה מרוכבת במאה ה-20.

שימושים

תחום אחד שבו למשפט הייתה השפעה הוא בחקר משוואות דיפרנציאליות. ניתן להשתמש במשפט כדי לקבוע את קיומם וייחודם של פתרונות לסוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות, שיש להן השלכות חשובות על המודל והניתוח של מערכות פיזיקליות וביולוגיות שונות. בנוסף, המשפט יושם גם על חקר התפלגות המספרים הראשוניים, תחום במתמטיקה שמשך עניין של מתמטיקאים רבים ויש לו השלכות חשובות על חקר ההצפנה ועיצוב מערכות תקשורת מאובטחות.

ראו גם

הערות שוליים

^ de Branges, Louis (1985), "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Mathematica, 154 (1): 137–152, doi:10.1007/BF02392821, MR 0772434
^ Bieberbach, L., Ober die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften, 1916, 940-955.
^ Lowner, K., Untersuchungen tiber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. Math. Ann., 89 (1923), 102-121.
^ Garabedian, P. R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 4 (1955), 427-455.
^ Ozawa, M., An elementary proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Kodai Math. Sere. Rep., 21 (1969), 129-132.
^ Pederson, R. N., A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 31 (1968), 331-351.
^ Pederson, R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture of the fifth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 45 (1972), 161-193.
^ Horowitz, David (1978). "A further refinement for coefficient estimates of univalent functions". Proceedings of the American Mathematical Society. 71 (2): 217–217. doi:10.1090/S0002-9939-1978-0480979-0. ISSN 0002-9939.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

[1] Branges, Louis (1985), "A proof of the Bieberbach conjecture", Acta Mathematica, 154 (1): 137–152, doi:10.1007/BF02392821, MR 0772434

[2] Bieberbach, L., Ober die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften, 1916, 940-955.

[3] Lowner, K., Untersuchungen tiber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. Math. Ann., 89 (1923), 102-121.

[4] Garabedian, P. R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 4 (1955), 427-455.

[5] Ozawa, M., An elementary proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Kodai Math. Sere. Rep., 21 (1969), 129-132.

[6] Pederson, R. N., A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 31 (1968), 331-351.

[7] Pederson, R. & Schiffer, M., A proof of the Bieberbach conjecture of the fifth coefficient. Arch. Rational Mech. Anal., 45 (1972), 161-193.

[8] Horowitz, David (1978). "A further refinement for coefficient estimates of univalent functions". Proceedings of the American Mathematical Society. 71 (2): 217–217. doi:10.1090/S0002-9939-1978-0480979-0. ISSN 0002-9939.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]