מעגל היחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Unit circle.svg

במתמטיקה, מעגל היחידה הוא מעגל בעל רדיוס של 1, שמרכזו בראשית הצירים של מערכת צירים קרטזית. למעגל היחידה מספר שימושים בטריגונומטריה - באמצעותו ניתן להרחיב את הגדרתן של הפונקציות הטריגונומטריות, ולהגדיר יחידת מידה טבעית לזווית - הרדיאן. מעגל היחידה מסומן לעתים קרובות \ S^1.

העיגול ברדיוס 1 סביב הראשית, שמעגל היחידה הוא שפתו, נקרא עיגול היחידה.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן זווית כלשהי, מגדירים אותה כרדיוס ש"מסתובב" נגד כיוון השעון ויוצר את הזווית הזאת עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. אם הזווית שלילית, הסיבוב הוא עם כיוון השעון. אם הזווית גדולה מ-360° (או \ 2\pi רדיאנים), זה יותר מסיבוב אחד ועל כן הזווית עם ציר ה-x היא השארית של חלוקת הזווית ב-360°.

אם הזווית היא \ t ו-\ (x,y) היא הנקודה בה נוגע הרדיוס במעגל, אז נגדיר:

\ \cos t=x
\ \sin t=y

במישור המרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

במישור המרוכב מעגל היחידה מורכב מכל המספרים המרוכבים שערכם המוחלט הוא 1 (ובכללם כל שורשי היחידה). לפי נוסחת אוילר כל מספר על מעגל היחידה ניתן להצגה כ-\ e^{i\theta} כאשר \ \theta היא הזווית (ברדיאנים) בין הציר הממשי למספר. איברי מעגל היחידה מהווים חבורה ביחס לכפל מספרים מרוכבים. זוהי חבורה חשובה ושימושית במתמטיקה והיא נקראת חבורת המעגל. מנוסחת אוילר נובע שהיא איזומורפית לחבורת המנה \mathbb{R}/\mathbb{Z} (כחבורות ביחס לחיבור).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]