משפט ההחלקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט ההחלקה (הידוע גם בשם "משפט התוחלת השלמה") הוא משפט בתורת ההסתברות, לפיו התוחלת של התוחלת המותנית של משתנה מקרי כלשהו שווה לתוחלת של אותו משתנה מקרי.

באופן מדויק יותר, אם X הוא משתנה מקרי אינטגרבילי (כלומר \operatorname{E}(|X|) < \infty), ואם Y הוא משתנה אקראי אחר (לאו דווקא אינטגרבילי), אזי מתקיים

\operatorname{E} (X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y)).

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן ההוכחה עבור משתנים מקריים בדידים:


\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right)= \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)  \,

=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,

=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,

=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \,

=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) .

סכום ההסתברויות של המ"מ Y|X=x שווה ל-1 ולכן:


\sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) = 1,

ולכן

\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \, =\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \,

=\operatorname{E}(X) \,

עבור משתנים רציפים, ההסתברויות מוחלפות בצפיפויות, והסכומים מוחלפים באינטגרלים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט השונות השלמה