משפט ההתכנסות הנשלטת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המידה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט על האינטגרל של הגבול של סדרת פונקציות מדידות, המתכנסת נקודתית. לפי המשפט, אם כל הפונקציות בסדרה חסומות בערכן המוחלט (כלומר, "נשלטות") על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז האינטגרל של הגבול שווה לגבול של האינטגרלים. בפרט, האינטגרלים של פונקציות הסדרה קיימים וסופיים.

המשפט מנוסח עבור פונקציות שהן אינטגרביליות לבג, ובפרט תקף גם עבור פונקציות אינטגרביליות רימן.

משפט זה הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות של ויטלי.

נוסח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \left( X, \mathcal{F}, \mu \right) מרחב מידה. תהי \ f_1,f_2,\dots סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, אשר מתכנסת כמעט בכל מקום לפונקציה גבולית \ \lim_{k\to\infty}f_k=f. אם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג \ g שהאינטגרל שלה סופי כך ש-\ |f_k|\le g עבור כל k=1,2,\dots כמעט בכל מקום, אזי כל הפונקציות הסדרה והגבול הנקודתי הן אינטגרביליות עם אינטגרל סופי, ומתקיים \ \lim_{k\to\infty}\int_X f_kd\mu=\int_X fd\mu.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פאטו, אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש-\ g חוסמת את כל אברי הסדרה.

כיוון ש-\ |f_k|\le g אז \ g+f_k היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פאטו ולקבל:

\ \int_X g d\mu+\int_X f d\mu=\int_X \left(g+f\right)d\mu=\int_X \lim_{k\to\infty}\left(g+f_k\right) d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X \left(g+f_k\right) d\mu=\int_X g d\mu +\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu , כאשר \ \liminf מסמן את הגבול התחתון של הסדרה.

לאחר חיסור \ \int_X g d\mu משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

\ \int_X f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית \ g-f_k, ולקבל:

\ \int_X -f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X -f_k d\mu=-\limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu כאשר \ \limsup הוא הגבול העליון. כלומר:

\ \int_X f d\mu\ge \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

\ \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu\le\int_X f d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu

מכיוון שאגף שמאל תמיד לא קטן מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]