משתמש:עשו/גל הלם כדורי

סכמה של הפתרון

משוואות רנקין הוגוניו מאפשרות להסיק שצפיפות האוויר בחזית גל ההלם היא 6 פעמים צפיפות האוויר באטמוספירה ומהירות התקדמות החזית היא ${\sqrt {\frac {6p_{2}}{5\rho _{1}}}}$. הפונקציות הנעלמות כעת הן פרופיל המהירות (מהירות זרימת האוויר) לפי הרדיוס ופרופיל הלחץ לפי הרדיוס (פרופיל הצפיפות תלוי בפרופיל הלחץ שכן דחיסת האוויר בתוך הכדור אדיאבטית). בהינתן שתי הפונקציות האלה ניתן לקבוע את ערך הקבוע C באמצעות נרמול, שכן האנרגיה הכוללת של האוויר בתוך הכדור (תרמית + קינטית) שווה E, או מתמטית: $\int _{0}^{R}4\pi r^{2}(\epsilon (r)+{\frac {1}{2}}\rho V(r)^{2})dr=E$, כאשר $\epsilon (r)={\frac {P(r)}{\gamma -1}}$. כיוון שמשוואות אוילר מתארות את ההתפתחות בזמן של הזרימה (כל משוואה מכילה נגזרת זמנית אחת), נחוצה משוואה נוספת כדי "לסגור מעגל". משוואה זו מסופקת על ידי הנחת הזהות - ההתפלגות המרחבית של משתני הזרימה זהה בכל זמן ונבדלת רק בקנה מידה. הנחה זו מאפשרת לגזור זהות הקושרת נגזרות זמניות של משתני הזרימה עם נגזרות מרחביות שלהם, ובכך משלימה את משוואות אוילר.

הפתרון

שלוש משוואות אוילר:

• ${\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho v) \over \partial x}=0\\[1.2ex]\end{aligned}}$
• ${\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+v{\partial v \over \partial x}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}\\[1.2ex]\end{aligned}}$
• ${\begin{aligned}{\partial E \over \partial t}+{\partial \over \partial x}{(v(E+P))}=0\end{aligned}}$

ותוצאות הנובעות מפתרון הזהות:

• ${\frac {dV(r,t)}{dt}}=-({\frac {3}{2}}V(r,t){\frac {2}{5t}}+r*{\frac {2}{5t}}*{\frac {dV}{dr}})=-({\frac {3V(r,t)}{5t}}+{\frac {2r}{5t}}{\frac {dV}{dr}})$

• ${\frac {dP(r,t)}{dt}}=-(3P(r,t){\frac {2}{5t}}+r*{\frac {2}{5t}}*{\frac {dP}{dr}})=-({\frac {6P(r,t)}{5t}}+{\frac {2r}{5t}}{\frac {dP}{dr}})$

ראשית נקשר בין הלחץ והצפיפות של הגז. ההנחה היא שהאוויר נדחס אדיאבטית לכן $PV^{\gamma }=const$ ולכן הקשר בין הצפיפות ללחץ הוא: $\rho =\rho _{1}*({\frac {P}{P_{1}}})^{\frac {1}{\gamma }}$, כאשר שני הקבועים הם צפיפות האוויר והלחץ בחזית הפיצוץ ($\rho _{1}=6\rho _{0}$ ו-$P_{1}$ אינו ידוע). כדי להבין את האבולוציה של פילוג הלחץ בתוך גל ההלם הכדורי, נעזר במשוואת אוילר מספר 1 ממכניקת הזורמים (משוואת הרצף) : ${\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho v) \over \partial x}=0\\[1.2ex]\end{aligned}}$. מקשר בין הלחץ והצפיפות נקבל:

${\frac {d\rho }{dP}}={\frac {1}{\gamma }}*{\frac {\rho _{1}}{P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}}*P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}$.

מכאן נקבל:

${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{\gamma }}*{\frac {\rho _{1}}{P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}}*P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dt}}$.

כעת נשלב את משוואת הרצף ונקבל: ${\frac {1}{\gamma }}*{\frac {\rho _{1}}{P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}}*P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dt}}=-({\frac {v*d\rho }{dr}}+{\frac {\rho *dv}{dr}})$

נסמן את הביטוי ${\frac {1}{\gamma }}*{\frac {\rho _{1}}{P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}}=\beta$ ונקבל:

$\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dt}}=-(\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dr}}*v(r)+\rho *{\frac {dv}{dr}})$

אם ניעזר בתוצאות שבסוף לגבי פתרון הזהות נקבל לחלופין:

$-\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*({\frac {6P(r,t)}{5t}}+{\frac {2r}{5t}}{\frac {dP}{dr}})=-(\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dr}}*v(r)+\rho *{\frac {dv}{dr}})$.

בהנחה רדיוס הפיצוץ לפי הזמן הוא: $(({\frac {C*E*t^{2}}{\rho }})^{\frac {1}{5}})$.

ממשוואת אוילר מספר 2 ממכניקת הזורמים (שימור תנע) נקבל:

${\frac {dv}{dt}}+v*{\frac {dv}{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}$

מהתוצאה השנייה של הנחת הזהות נקבל:

$-({\frac {3V(r,t)}{5t}}+{\frac {2r}{5t}}{\frac {dV}{dr}})+V(r){\frac {dv}{dr}}=-{\frac {1}{\rho (r)}}{\frac {dP}{dr}}$

ואם נפשט על ידי $\rho (r)=\rho _{1}*({\frac {P(r)}{P_{1}}})^{\frac {1}{\gamma }}$ נקבל:

$-({\frac {3V(r,t)}{5t}}+{\frac {2r}{5t}}{\frac {dV}{dr}})+V(r){\frac {dv}{dr}}=-{\frac {P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}{\rho _{1}P(r)^{\frac {1}{\gamma }}}}{\frac {dP}{dr}}$

ניתן להציב למשל $t=1$ (הפתרון נבדל רק בקנה מידה) ולקבל צמד משוואות דיפרנציאליות מצומדות:

$-\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*({\frac {6P(r,t)}{5}}+{\frac {2r}{5}}{\frac {dP}{dr}})=-(\beta *P^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}*{\frac {dP}{dr}}*v(r)+\rho _{1}*({\frac {P}{P_{1}}})^{\frac {1}{\gamma }}*{\frac {dv}{dr}})$.

$-({\frac {3V(r,t)}{5}}+{\frac {2r}{5}}{\frac {dV}{dr}})+V(r){\frac {dv}{dr}}=-{\frac {P_{1}^{\frac {1}{\gamma }}}{\rho _{1}P(r)^{\frac {1}{\gamma }}}}{\frac {dP}{dr}}$

נכתוב כעת את משוואת שימור האנרגיה (משוואת אוילר 3):

${\begin{aligned}{\partial E \over \partial t}+{\partial \over \partial r}{(v(E+P))}=0\end{aligned}}$

ברור ש-: $E+P$ על השכבה הכדורית החיצונית ביותר (שפת הכדור) הוא:

$E+P=(P(r)+{\frac {1}{2}}\rho (r)v^{2}(r))+P(r)=2P(r)+{\frac {1}{2}}\rho (r)v^{2}(r)$

מתקיים:

${\partial \over \partial r}{(v(E+P))}={\frac {dv}{dr}}(2P(r)+{\frac {1}{2}}\rho (r)v^{2}(r))+v(r)(2{\frac {dP}{dr}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\rho }{dr}}v^{2}(r)+\rho (r)v(r){\frac {dv}{dr}}$

וזה שווה ל-:

${\frac {dE}{dt}}=2{\frac {dP}{dt}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\rho }{dt}}v^{2}(r)+\rho (r)v(r){\frac {dv}{dt}}$.

כעת נגדיר מספר סימונים שיחסכו כתיבה. את הנגזרת הזמנית ${\frac {dV(r,t)}{dt}}$ נסמן $f(V,{\frac {dv}{dr}},t)$ ובאופן דומה: ${\frac {dP}{dt}}=f(P,{\frac {dP}{dr}},t)$.

הערה: יכול להיות שכתיבת משוואת אוילר השלישית (שימור אנרגיה) מיותרת שכן היא אקוויולנטית מתמטית לקשר האדיאבטי: $PV^{\gamma }=const$ (כאשר $\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}$) , כלומר ניתן להסיק ממשוואת שימור האנרגיה את הקשר האדיאבטי ולהפך.

הוכחה:

נוכיח זאת במקרה החד-ממדי. נעבור למערכת הייחוס של הקצה הימני של אלמנט גז (הגז נע ימינה). יש להוכיח שהשינוי באנרגיה הפנימית מתקבל רק על ידי עבודת הדחיסה (שזה נכון רק במקרה של קירוב הרצף - יש לבדוק את מספר קנודסן) על האלמנט הנגרמת על ידי הפרש מהירויות בין הקצה הימני והשמאלי שלו. האנרגיה שנכנסת לתא על ידי שטף האנרגיה מהקצה השמאלי היא: $\textstyle Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)$, ועבודת הדחיסה הנעשית על התא היא $P_{-}v_{-}A\Delta t$.

פתרון הזהות

מהרעיון שעומד מאחורי פתרון הזהות ניתן לגזור זהויות יסודיות:

$P(r,t+dt)=P(r*(1-{\frac {({\dot {R}}(t)dt)}{R(t)}},t)*({\frac {R(t)}{R(t)+({\dot {R}}(t))*dt}})^{3}$

כדי לחסוך כתיבה נגדיר את קצב התפיחה $\lambda$ כך: $\lambda (t)={\frac {{\dot {R}}(t)}{R(t)}}$ ונקבל:

$P(r,t+dt)=P(r*(1-\lambda (t)dt),t)*(1-\lambda (t)dt)^{3}=P(r*(1-\lambda (t)dt),t)*(1-3\lambda (t)dt)$

באותו אופן ניתן לגזור זהויות יסודיות לגבי פרופיל המהירות:

$v(r,t+dt)=v(r*(1-\lambda (t)dt),t)*(1-{\frac {3}{2}}\lambda (t)dt)$

כלומר, אם נגדיר את הזמן בו רדיוס הפיצוץ הוא R כזמן אפס, נקבל:

$v(R,dt)=(v(R,0)-R*\lambda (0)dt)*{\frac {dv(R,0)}{dr}})(1-{\frac {3}{2}}\lambda (0)dt)$

$v(R,dt)=v(R,0)-3/2v(R,0)\lambda (0)dt-R*\lambda (0)dt*{\frac {dv}{dr}}$

או, אם נעביר אגפים ונחלק ב-dt :

${\frac {dv(R,0)}{dt}}=-(3/2v(R,0)\lambda (0)+R*\lambda (0)*{\frac {dv}{dr}})$

כמו כן בנוגע ללחץ:

${\frac {dP(R,0)}{dt}}=-(3P(R,0)\lambda (0)+R*\lambda (0)*{\frac {dP}{dr}})$

עובדה מעניינת היא שקצב התפיחה הופכי לזמן (כאשר רגע הפיצוץ מוגדר כזמן אפס):

$\lambda (t)={\frac {2}{5t}}$

אם נציב את התוצאות נקבל:

${\frac {dP(R,0)}{dt}}=-({\frac {6CE}{5tR^{3}}}+{\frac {2}{5}}({\frac {CE}{\rho _{0}t^{2}}})^{\frac {1}{5}}*{\frac {dP}{dr}})$

משוואות רנקין-הוגוניו

עבור גל הלם חד ממדי, במערכת ייחוס שנעה עם גל ההלם אזור ההלם נראה כנייח ומהירויות הזורם לפני ואחרי גל ההלם הן $u_{s},u_{s}-u_{2}$ כאשר $u_{2}$ היא המהירות שהזורם מקבל כשגל ההלם פוגע בו, ואילו צפיפויות הזורם (גז דחיס) הן: $\rho _{s},\rho _{1}$ , לכן אם נכתוב את משוואות אוילר ממכניקת הזורמים:

$\rho _{1}*u_{s}=\rho _{s}(u_{s}-u_{2})$ (שימור מסה)

באותו אופן עבור שימור התנע נקבל שהפרש הלחצים משתי צידי הזורם מקיים:

$p_{2}-p_{1}=\rho _{1}u_{s}u_{2}=\rho _{s}u_{2}(u_{s}-u_{2})$

ומשימור אנרגיה נקבל ששטף האנרגיה העובר אל הזורם מחזית גל ההלם שווה לשטף האנרגיה הנכנס אל חזית גל ההלם מהחלק הפנימי שלו, ומכיוון ששטף האנרגיה שווה לקצב שינוי האנרגיה הקינטית ועוד שינוי האנרגיה הפנימית, נקבל:

$p_{2}u_{2}=\rho _{1}u_{s}({\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+e_{2}-e_{1})$

לפי משוואות רנקין הוגוניו, הקשר בין מהירות חזית גל ההלם (לא מהירות זרימת האוויר בחזית אלא מהירות התקדמות החזית) והלחץ בה הוא:

$P={\frac {5}{6}}\rho _{0}*u_{s}^{2}={\frac {5}{6}}\rho _{0}*({\frac {2}{5}}*C*({\sqrt {\frac {E}{R^{3}\rho _{0}}}}))^{2}={\frac {2C^{2}E}{25R^{3}}}$

כאשר $E/R^{3}=P_{ave}$ הוא למעשה הלחץ הממוצע בתוך הכדור.

היסטוריה של מכניקת הזורמים

ההיסטוריה של מכניקת הזורמים, המדע המתאר כיצד זורמים נעים ואת הכוחות הפועלים עליהם, מתוארכת לימי יוון העתיקה.

העת העתיקה

בידע איכותי, אך לא כמותי, של כיצד זורמים נעים, נעשה שימוש בידי הציוויליזציות הקדומות בתכנון סירות ובפרויקטים הידראוליים אחרים להגנה מפני שטפונות, השקיה, תעלות ניקוז, ואספקת מים. הציוויליזציות האנושיות הקדומות ביותר שגשגו בסמוך לחופי נהרות, והעלו עמן על נס את מדעי ההידרולוגיה, הידראוליקה, והנדסה הידראולית.

ארכימדס

העקרונות היסודיים של ההידרוסטטיקה נוסחו על ידי ארכימדס בספרו על גופים צפים, בערך בשנת 250 לפנה"ס. בספר זה, ארכימדס מפתח את עקרון הציפה, הידוע גם כחוק ארכימדס. העקרון קובע שגוף המשוקע בנוזל חווה כוח עילוי השווה למשקל הנוזל שהוא דוחה. ארכימדס טען שכל פרודה אינפינטסימלית במסה הנוזלית חווה לחץ זהה מכל כיוון, וחקר את תנוחות שיווי המשקל שגוף מוצק הצף בנוזל ינוח בהן בהינתן צורת הגוף ויחס הצפיפויות בין החומר ממנו הוא עשוי לזורם.

בית הספר באלכסנדריה

בבית הספר היווני באלכסנדריה, שפרח תחת חסותם של בני תלמי, ניסיונות נעשו בבנייה של מכונות הידראוליות, ובערך בשנת 120 לפנה"ס מזרקת הדחיסה, הסיפון, ומשאבת הבוכנה הומצאו על ידי קטסיביוס והרון מאלכסנדריה. בעוד הסיפון הוא כלי פשוט, משאבת הבוכנה היא המצאה מורכבת, שלא ניתן היה לצפות לה בתקופה בה מדע ההידראוליקה היה בוסרי למדי. קרוב לוודאי שקטסיביוס המציא אותה כאשר צפה בפעולת הגלגל המצרי (שנקרא גם Noria) , שהיה סוג של משאבת שרשרת, בה סדרה של סירים בהיקף הגלגל נשאו עמם מים.

ימי הביניים

מהנדסים מוסלמים

במאה ה-9 לספירה, ספרם של האחים Banū Mūsā בשם Book of Ingenious Devices הציג מספרי אמצעי בקרה אוטומטית לשליטה על זורמים. הם גם תיארו צורה מוקדמת של בקר משוב לשליטה על נוזלים. הם תיארו גם מספר סוגי שסתומים, ביניהם השסתום החרוטי, הברז ומספר סוגי שסתומים נוספים.

ב-1206, ספרו של אל-ג'זארי Book of Knowledge of Ingenious Mechanical Devices תיאר מכונות הידראוליות רבות. בעלות חשיבות מיוחדת היו המשאבות שלו להרמת מים. השימוש הידוע הראשון של גל ארכובה במשאבת שרשרת היה באחד ממכונות ה- saqiya של אל-ג'זארי.

המאות ה-17 וה-18

מחקריו של אייזק ניוטון

מכניקת הזורמים החלה לקבל צוויון מדעי אמיתי לאחר עבודתו של אייזק ניוטון בתחום, אשר לראשונה אפשרה לחקור את הדינמיקה של זורמים, ולא רק את המצבים הסטטיים שלהם.

ניסוח חוקי התנועה וחקר הגרר

בספרו המפורסם "העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע", שפורסם ב-1687, ניסח ניוטון את חוקי התנועה של ניוטון, ובכך אפשר לחקור את הדינמיקה של גופים. כשהוא חמוש גם בכלים של החשבון האינפיניטסימלי, עלה בידו לנסח מודל איכותי וכמותי ראשון להתנגדות של זורמים לתנועת עצמים בתוכם, שנקראת גם כוח הגרר, וכך עלה בידו לנסח את כלל ריבוע המהירות של ניוטון - שכוח ההתנגדות של זורם לתנועה של עצמים בתוכו יחסי למהירות תנועת העצמים בריבוע. באותו ספר, ניוטון גם חקר את צורת הגופים בעלי התנגדות הידרודינמית מינימלית, באחד היישומים הראשונים של חשבון הווריאציות.

חיכוך וצמיגות

בספרו פרינקיפיה ניוטון גם שפך אור רב על האפקט של חיכוך פנימי על מהירות הזורם. ניוטון תיאר בספרו את המודל הראשון לזורם צמיג, הנקרא מאז מודל הזורם הניוטוני, והציג את המושג של צמיגות.

גלים

ניוטון היה גם הראשון לחקור את הנושא הקשה של תנועת גלים, והציע את המודל הראשון לתנועת גלי קול.

עבודתו של דניאל ברנולי

עמוד השער של "הידרודינמיקה".