משתמש:Avneref/ויקיפדיה/גרסות שלי/בהירות

סקאלת הבהירות

מיקומו של סיריוס, הכוכב הבהיר ביותר בשמים. בהירותו של סיריוס היא 1.46-

סקאלת הבהירות היא סקאלה לוגריתמית המוגדרת כך שערכה יורד ככל שמקור האור בהיר יותר. הבדל של 1 בבהירות הוא הבדל של פי שורש חמישי של 100 (בקירוב 2.512) בשטף, כלומר בהספק הקרינה ליחידת שטח. לפי אותו כלל, שינוי של 5 יחידות בהירות מתאים לשינוי של פי 100 בשטף.

לדוגמה, השטף המגיע לצופה על פני כדור הארץ מכוכב שבהירותו m=5 גדול פי 2.512 מהשטף של כוכב שבהירותו 6, או פי 2.512 בריבוע מכוכב שבהירותו 7. כאשר אומרים שכוכב מסוים נמצא בדרגת בהירות 1, מבלי לציין את הבהירות המדויקת, הכוונה היא שבהירותו הנראית בין 1.5 ל-0.5.

עבור שני כוכבים מתקיים:

$\ m1-m2=2.5\cdot \log _{10}{\frac {f2}{f1}}$

או:

${\frac {f2}{f1}}=100^{\frac {m1-m2}{5}}$

כאשר: m היא הבהירות (בסקאלה לוגריתמית); ו-f הוא השטף. מכיוון שבנוסחאות שלעיל מופיע יחס שבין שני גודלי שטף, אין חשיבות מעשית ליחידות בהם מבוטא השטף; על כל פנים, השטף הוא אנרגיה ליחידת שטח ליחידת זמן בתחום מסוים של אורכי גל. השטף נמדד בדרך כלל ביחידות של ארג לסנטימטר רבוע לשנייה.

יש לשים לב, שהמקדם 2.5 המופיע בנוסחה איננו הקירוב לשורש החמישי של 100, אלא בדיוק 2.5. הסיבה לקיומו היא השימוש בלוגריתם לפי בסיס 10, כפי שמתקבל מכאן:

אם רוצים לשמור על ההגדרה (השרירותית) של פוגסון, והיא: שיחס של 100 בין שני גדלי שטף יתאים להפרש של 5 יחידות בסקאלה לוגריתמית, אז:

$\log _{x}100=5$, ובסיס הלוגריתם צריך להיות: $x={\sqrt[{5}]{100}}$

ומכאן גם:

$\log _{10}x={\frac {2}{5}}$

ובבסיס 10:

$\log _{10}100=\log _{10}x\cdot \log _{x}100={\frac {2}{5}}\cdot \log _{x}100$

ובאופן כללי:

$\log _{10}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\frac {2}{5}}\log _{x}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}$ ומכאן: ${\frac {5}{2}}\cdot \log _{10}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}=m_{1}-m_{2}$      ;     $f_{2}>f_{1};m_{2}<m_{1}$

הקשר לבהירות המוחלטת

הבהירות תלויה במרחק של גרם השמים מכדור הארץ; וכן בבהירות המוחלטת (M) של גרם השמיים, שמושפעת מאופי פליטת האור שלו.

הבהירות הנראית גדלה עם העלייה בבהירות המוחלטת, והיא פוחתת בעבור מרחקים הולכים וגדלים מהמקור. הקשר בין הבהירות המוחלטת (M) והבהירות הנראית (m) נתון על ידי הנוסחה:

$\ M=m-5(\log _{10}{D_{L}}-1)$

הגודל D_L קרוי מרחק הבהירות, והוא שווה למרחק מהמקור ביחידות פרסק (כ-3.2616 שנות אור) עבור עצמים קרובים. כשמדובר במרחקים גדולים, יש לקחת בחשבון את השפעת עקמומיות המרחב, לפי תורת היחסות הכללית, ולהכניס תיקון לערכו של D_L.

הנוסחה שלעיל מתקבלת כך:

יחס גדלי השטף הוא היחס ההופכי של ריבועי המרחקים, ולכן:

$\log _{10}({\frac {D_{1}}{D_{2}}})^{2}=\log _{10}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}$

${\frac {5}{2}}\cdot 2\log _{10}{\frac {D_{1}}{D_{2}}}={\frac {5}{2}}\cdot \log _{10}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}=m_{1}-m_{2}$ (לפי השוויון שלמעלה).

כלומר, אם רוצים, שוב, שיחס גדלי שטף (לינארי) של פי 100, יתאים להפרש (בסקאלה לוגריתמית) של 5, אז בסיס הלוגריתם צריך להיות השורש החמישי של 100; ואילו בבסיס 10, המקדם של $\log _{10}{\frac {D_{1}}{D_{2}}}$ הוא 5:

$5\log _{10}{\frac {D_{1}}{D_{2}}}=m_{1}-m_{2}$

ואם נחליף את m₂ ב-M, את m₁ ב-m, ואת D₂ ב-10 פרסק, אזי:

$m-M=5(\log _{10}D-1)$

ואכן, הפחתת ה-1 גורמת לכך, שהבהירות הנראית של עצמים שמרחקם מהצופה 10 פרסק, שווה בגודלה לבהירות המוחלטת.