משתמש:Guyguy40/היחידה המדומה

המושג היחידה המדומה מתייחס לפתרון המשוואה $x^{2}=-1$. פתרון המשוואה בדרך כלל מסומן ב $i$. משום שאין מספר ממשי אשר פותר את המשוואה, מספר זה מרחיב את שדה הממשיים, ותוך ההנחה שתכונות החיבור והכפל נשמרות להרחבה הזאת, המספרים המרוכבים נוצרים.

המספרים הדמיוניים הם רעיון מתמטי חשוב, אשר מרחיבים את שדה המספרים הממשיים ℝ לשדה המספרים המרוכבים ℂ, אשר נותן שורש אחד לפחות לכל פולינום שלא מורכב מקבוע בלבד. משתמשים במונח "דמיוני" משום שלא קיים מספר ממשי אשר משמש כשורש של מספר שלילי.

במקרים בהם $i$ הוא בעייתי, משתמשים ב$j$ או בι היוונית. בהנדסת חשמל ובהנדסת מכשור ובקרה נוהגים להשתמש באות $j$ משום ש$i$ שמור לזרם חשמלי.

הגדרה

החזקות של $i$ חוזרות על עצמן:
...(חזרה על החזקות מהאזור הכחול)
$i^{-3}=i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}=1$
$i^{1}=i$
$i^{2}=-1$
$i^{3}=-i$
$i^{4}=1$
$i^{5}=i$
$i^{6}=-1$
...(חזרה על החזקות מהאזור הכחול)

המספר המדומה $i$ מוגדר כשורש הריבועי של 1-:

$i^{2}=-1$.

למרות שהמספרים שנובעים מ$i$ נקראים "דמיוניים", ולמרות שהרעיון מאחורי המספרים הדמיוניים היינו קשה יותר להבנה מאשר המספריים הממשיים, לא קיימת בעיה מבחינה מתמטית במספרים הדמיוניים. ניתן להתייחס ל$i$ כאל משתנה לא ידוע, ולהחליף כל הופעה של $i^{2}$ ב 1- לפי הגדרתו של $i$, ומכאן לבנות את המספריים הדמיוניים והמרוכבים. כתוצאה מההגדרות האלה ניתן להחליף את החזקות הבאות של $i$ ב$i$-, 1, $i$, או 1-:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

בדומה לכך, כמו בכל מספר ממשי אשר הוא לא 0:

$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,$

כמספר מרוכב, $i$ מיוצג בקואורדינטות קרטזיות על ידי $0+i$, בלי יחידות ממשיות ועם יחידה דמיונית אחת. בקואורדינטות פולריות $i$ מיוצג על ידי  1e^(i*π)/2 עם אורך של 1 וארגומנט (זווית) של $\pi /2$. במישור המרוכב $i$ מיוצג על ידי הנקודה $(0,1)$

שימוש נכון

היחידה המדומה נרשמת לעיתים כ${\sqrt {(}}-1)$ במתמטיקה מתקדמת (ולעיתים בספרי מתמטיקה לקהל הרחב). עם זאת, צריך להתייחס בזהירות רבה מתי שמבצעים מניפלוציות על נוסחאות שמכילות שורשים. חלק מהנוסחאות שנכונות לשורשים הממשיים אינן נכונות להרחבה המרוכבת שלהם, מה שיכול להביא לתוצאות שגויות:

$-1=i*i={\sqrt {(}}-1)*{\sqrt {(}}-1)={\sqrt {(}}-1*-1)={\sqrt {(}}1)=1$ (לא נכון)

ניסיון לתקן את החישוב על ידי ציון החלק החיובי והשלילי של השורש רק מוציא תוצאה נכונה בחלקה:

$-1=i*i=\pm {\sqrt {(}}-1)*\pm {\sqrt {(}}-1)=\pm {\sqrt {(}}-1*-1)=\pm {\sqrt {(}}1)=\pm 1$ (נכון רק חלקית)

בצורה דומה:

${1 \over i}={{\sqrt {(}}1) \over {\sqrt {(}}-1)}={\sqrt {(}}{1 \over -1})={\sqrt {(}}{-1 \over 1})={\sqrt {(}}-1)=i$ (לא נכון)

חוקי החזקות

${\sqrt {(}}a)*{\sqrt {(}}b)={\sqrt {(}}a*b)$

${{\sqrt {(}}a) \over {\sqrt {(}}b)}={\sqrt {(}}{a \over b})$

לא בהכרח נכונים למספרים מרוכבים.

ניתן לפתור את הבעיה על ידי ביצוע מניפיולציות בביטויים כגון $i{\sqrt {(}}7)$ במקום ${\sqrt {(}}-7)$, מה ששומר על נכונות הביטוי. לדוגמא:

$-1=i*i=i({\sqrt {1}})*i({\sqrt {1}})=(i*i)*{\sqrt {(}}1*1)=-1*{\sqrt {1}}=-1$(נכון)