משתמש:Yehuger/Rayleigh–Taylor instability

הדמיית מחשב של "אצבע" אחת באי-יציבות ריילי-טיילור. הנוזל הכחול צפוף יותר והכבידה הפועלת כלפי מטה מאיצה אותו לעבר הנוזל הצהוב. הזמן המוקדם בתמונה משמאל, והזמן מתקדם ככל שעוברים ימינה.עם התפתחות המבנה הלא יציבה נוצרים מבנים מורכבים כמו מבנה הפטרייה בקצה הבועות והטריזים, והמערבולות על הצוואר הדק בין הנוזלים הנוצרות כתוצאה מאי-יציבות קלווין-הלמהולץ.

מבנים הנוצרים מאי-יציבות ריילי-טיילור כפי שהם נראים בערפילית הסרטן

במכניקת הזורמים, אי-יציבות ריילי-טיילור, היא אי-יציבות של ממשק בין שני זורמים בעלי צפיפות שונה המתרחשת כאשר הנוזל הקל דוחף את הנוזל הכבד יותר. אי יציבות זו נחקרה לראשונה על ידי לורד ריילי ב-1880 בהקשר של היווצרות עננים באטמוספירה, כאשר הכוח הגורם לדחיפה הוא כוח הכבידה. ב-1950, ציין ג'. א. טיילור שאי היציבות כללית יותר ונוצרת גם כשהתאוצה לא קשורה לכבידה. לאור תרומתם של ריילי וטיילור לנושא, אי היציבות קרויה על שמם.

המצבים הגורמים להיווצרות אי-יציבות ריילי-טיילור הם נפוצים, ולכן ישנם דוגמאוצ נפוצות רבות לאי יציבות זו. דוגמאות אלו כוללות את התנהגות המים התלויים מעל הנפט בכוח הכבידה של כדור הארץ, ענני פטריות הנוצרות מהתפרצויות געשיות והתפוצצויות גרעיניות אטמוספריות, פיצוצים של סופרנובה שבהם גז הקרוב לליבת הכוכב מתפשט ומאיץ אל גז צפוף יותר הנמצא מסביב לליבה, ואי-יציבות המתרחשת בכורי היתוך פלזמה והיתוך אינרציאלי.

מים הצפים מעל שמן הם דוגמה יומיומית להופעת אי-יציבות ריילי-טיילור. את המקרה הזה ניתן לנתח באמצעות מודל של שתי שכבות מקבילות לחלוטין של נוזל בלתי מתערב. המים הצפופים יותר מונחים על גבי הזורם הפחות צפוף ושניהם כפופים לכוח המשיכה של כדור הארץ. אם הממשק בין שני הזורמים הוא אידיאלי, המים ימשיכו לצוף על פני השמן. אולם שיווי המשקל אינו יציב וכל הפרעה בצורת הממשק תתפתח ותגרום לזורם הכבד לזרום כלפי מטה. אם אלמנט זורם מהזורם הכבד יותר נעה כלפי מטה ואלמנט בעל נפח שווה של הנוזל הקל יותר נעקר כלפי מעלה, האנרגיה הפוטנציאלית של המצב הסופי נמוכה יותר מהאנרגיה של המצב ההתחלתי. עם גדילת ההפרעה האנרגיה פוטנציאלית של המצב תרד.

עם התפתחות אי-יציבות ריילי-טיילור, ההפרעות הראשוניות מתקדמות משלב גדילה ליניארי לשלב צמיחה לא ליניארי. בסופו של דבר מתפתחות "בועות" הזורמות כלפי מעלה (במובן של ציפה בניגוד לכוח הכבידה) ו"טריזים" המתקדמים כלפי מטה. בשלב הליניארי, ניתן לקרב מקרוב את תנועת הנוזל על ידי משוואות ליניאריות, ומשרעת ההפרעות גדלה באופן מעריכי עם הזמן. בשלב הלא ליניארי, משרעת הפרעות גדולה מדי עבור קירוב ליניארי, ונדרשות משוואות לא ליניאריות כדי לתאר את תנועת הזורמים.

באופן כללי, פער הצפיפות בין הזורמים קובע את המבנה של זרימות האי-יציבות בשלב הלא-לינארי (בהנחה שמשתנים אחרים כגון מתח הפנים והצמיגות הם זניחים). ההבדל בצפיפות הזורמים חלקי הסכום של הצפיפויות מוגדר כמספר אטווד. עבור מספר אטווד קרוב ל-0 (כלומר במצב בו הצפיפות של הזורמים קרובה אחד לשני), המצב הסופי באי-יציבות ריילי-טיילור סימטרי למדי, הבועות והטריזים דומים אחד לשני; עבור מספר אטווד קרוב ל-1 (כלומר מצב בו הנוזל הכבד צפוף הרבה יותר מהנוזל הקל), הבועות גדולות יותר מהטריזים.

שלבי ההתפתחות והתפתחות בסופו של דבר לערבוב טורבולנטי

קובץ:Evolution of the Rayleigh Taylor Instability.xcf

גרף זה מייצג את האבולוציה של אי-יציבות ריילי-טיילור המתחילה משיבושים קטנים באורך גל בממשק (a) אשר מתפתחים לפטריות כמעט סימטריות הכוללות טריזים (spike באיור - מבנים של הזורפ הכבד שהתקדמו מטה לעבר הזורם הקל) ובועות (מבנים של הזורם הקל שצפו לתוך הזורם הכבד) (b). מבנים אלה מקיימים אינטראקציה הכוללת מיזוג בועות ותחרות (c) ומתפתחים בסופו של דבר לאזור ערבוב (d). כאן ρ2 הוא הזורם הכבד ו-ρ1 הזורם הקל. כוח הכבידה פועל כלפי מטה והמערכת אינה יציבה לאי-יציבות ריילי-טיילור.

האבולוציה של אי-יציבות ריילי-טיילור כוללת ארבעה שלבים עיקריים. בשלב הראשון, משרעת ההפרעות קטנות בהשוואה לאורכי הגל שלהן, וניתן לבצע ליניאריזציה של משוואות התנועה. כתוצאה מכך, אי-היציבות גדלה באופן מעריכי. בחלק מוקדם זה של ההתפתחות, הפרעה ראשונית סינוסואידית שומרת על צורתה. לאחר סיום השלב הראשון, כאשר מתחילות להופיע השפעות לא ליניאריות, ניתן לראות את התחלות היווצרותם של מבנים בצורת פטריות הכוללים טריזים (מבנים של זורם כבד הגדלים בתוך לזורם קל) ובועות (מבנים זורם קל הצפים בתוך הזורם הכבד). גידול מבני הפטריות נמשך בשלב השני וניתן לדגמן באמצעות מודלים של גרר-ציפה, בשלב זה, קצב גידול המשרעת של ההפרעה קבוע בערך בזמן. לאחר מכן, בשלב השלישי, הטריזים והבועות מתחילים ליצור אינטראקציה זה עם זה. בשלב זה, מתרחש מיזוג של בועות, כיון שהאינטראקציה הלא ליניארית פועלת לשילוב טריזים ובועות קטנות יותר כדי לייצר בועות גדולות יותר. כמו כן, מתחוללת תחרות בועות, בהן טריזים ובועות באורך גל קטן יותר נבלעות על ידי בועות גדולות יותר. בשלב הרביעי והאחרון מתפתח בסופואזור ערבוב טורבולנטי. ההנחה הכללית היא שאזור הערבוב שמתפתח לבסוף דומה לעצמו וטורבולנטי, בתנאי שמספר ריינולדס גדול מספיק.

ניתוח יציבות ליניארית

המצב הראשוני של חוסר היציבות של ריילי-טיילור. כוח המשיכה מצביע כלפי מטה. הנוזל הצפוף יותר מונח למעלה.

המקרה הדו-ממדי הלא צמיג, מאפשרת פיתוח הבנה מתמטית ראשונית של הגורמים לאי-יציבות. ניתן להתחיל ניתוח של מצב זה ממצב שיווי משקל שקיים לפני הוספת הפרעה כלשהי למערכת. מצב זה מתואר על ידי שדה המהירות הממוצע $U(x,z)=W(x,z)=0$ ושדה כבידה ${\textbf {g}}=-g{\hat {\textbf {z}}}$. ממשק הממקום בגובה $z=0\,$ מפריד בין שני זורמים, בעלי צפיפות שונה, הזורם בעל הצפיפות$\rho _{G}$ נמצא באזור העליון, ו-$\rho _{L}$ באזור התחתון. כאשר הזורם הצפוף יותר נמצא למעלה, צמיחתה של הפרעה קטנה בממשק היא מעריכית, ומתרחשת בקצב:

$\exp(\gamma \,t)\;,\qquad {\text{with}}\quad \gamma ={\sqrt {{\mathcal {A}}g\alpha }}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{\text{heavy}}-\rho _{\text{light}}}{\rho _{\text{heavy}}+\rho _{\text{light}}}},\,$

כאשר $\gamma \,$ הוא קצב הצמיחה הזמני, $\alpha \,$ הוא מספר הגל המרחבי ו-${\mathcal {A}}\,$ הוא מספר אטווד.

הפיתוח המלא מוצג להלן, ולפיו מהירות הגל מקיימת $c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}$. התנאי לאי יציבות לינארית הוא שהחלק הדמיוני של c הוא חיובי. ומכאן ניתן לראות שאי היציבות מתקיימת רק אם הנוזל הכבד נמצא למעלה, ושמתח הפנים $\sigma$ הופך את c ² לפחות שלילי ולכן הוא פועל לייצוב המערכת, ולכן הפרעות ראשוניות באורך גל קצר מיוצבות על ידי מתח הפנים ולא מתפתחות למצב לא יציב.

הוכחה

ההפרעה המוצכת במערכת יכול להיות מוצגת באמצעות הפרעה אינפיניטיסימלית בשדה המהירויות $(u'(x,z,t),w'(x,z,t))$. בהנחה שהזורם בלתי דחיס ניתן לבנות את שדה המהירויות באמצעות פונקציית זרם ${\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x})$ כאשר הסימון התחתון מציין נגזרת חלקית לפי הפרמטר. הנוזל במנוחה הוא לא רוטציוני, ולכן מתקיים $\nabla \times {\textbf {u}}'=0\,$ ומכך $\nabla ^{2}\psi =0$. בגלל הסימטריה להזזה באורך גל שלם ניתן להשתמש באנזץ: $\psi \left(x,z,t\right)=e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,$ כאשר $\alpha \,$ הוא אורך הגל בכיוון x. לכן הבעיה אותה יש לפתור היא: $\left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{j}=0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}},\,\,\,\ j=L,G.\,$ כאשר חילקנו את פונקציית הזרימה ל-2. החלקה המסומן ב-L הוא הזורם הנמצא באזור $-\infty <z\leq 0\,$ והחלק המסומן ב-G הוא באזור$0\leq z<\infty \,$. כדי למצוא את הפתרון המלא יש לקבוע תנאי שפה על המערכת. תנאים אלו יקבעו בסופו של דבר את מהירות הגל c ואת יציבות המערכת להפרעה. תנאי השפה הראשונים הם תנאי שפה על המהירות בכיוון z באינסוף. מהירות זו המסומנת $w'_{i}\,$ חייבת להתאפס בגבולות הרלוונטיים. לכן $w_{L}'=0\,$ ב-$z=-\infty \,$ ו-$w_{G}'=0\,$ ב-$z=\infty \,$. במונחים של פונקציית הזרימה נקבל: $\Psi _{L}\left(-\infty \right)=0,\qquad \Psi _{G}\left(\infty \right)=0.\,$ תנאי השפה האחרים מתקיימים בממשק בין שני הזורמים$z=\eta \left(x,t\right)\,$. תנאי השפה להמשכיות במהירות האנכית: ב-$z=\eta$ המהירויות האנכיות של שני הזורמים שוות$w'_{L}=w'_{G}\,$. ובמונחים של פונקציית הזרימה $\Psi _{L}\left(\eta \right)=\Psi _{G}\left(\eta \right).\,$ בפיתוח ליניארי מסביב ל-$z=0\,$ נקבל: $\Psi _{L}\left(0\right)=\Psi _{G}\left(0\right)+{\text{H.O.T.}},\,$ כש-H.O.T. מתייחס לאיברים לא ליניארים. תנאי שפה של שפה חופשית: בשפה $z=\eta \left(x,t\right)\,$, מתקיים התנאי הבא: ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,$ ואחרי ליניארזיציה במהירויות: ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,$ באמצעות פונקציית הגל תנאי זה יכול להיכתב כ-$c\eta =\Psi \,$. תנאי השפה ללחץ על פני הממשק: אם קיים מתח פנים בין הנוזלים אז תנאי השפה ללחץ על פני הממשק ניתן על ידי משוואת יאנג-לפלס: $p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \kappa ,\,$ כאשר σ הוא מתח הפנים ו-κ העקמומיות של המשטח. בקירוב ליניארי מתקיים: $\kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,$ ומכאן: $p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \eta _{xx}.\,$ התנאי הזה מתייחס ללחץ הכולל, שמכיל את הפרש הלחצים של מצב הבסיס והפרש הלחצים הנובע מההפרעה, ולכן: $\left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{xx}.\,$ הפרש הלחצים הבסיסי מקיים: $P_{L}=-\rho _{L}gz+p_{0},\qquad P_{G}=-\rho _{G}gz+p_{0},\,$ ומכאן שתנאי השפה ללחץ מההפרעה הוא: $p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,$ ובאמצעות שימוש בליניארזציה של משוואות אוילר בכיוון האנכי ניתן לקבל: ${\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {\partial p_{i}'}{\partial x}}\,$ עבור $i=L,G,\,$. ומכאן: $p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,$ ותנאי השפה ללחץ $p'_{G}-p'_{L}$ נותן: $c\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx}.\,$ באמצעות שימוש בתנאי השפה השני $c\eta =\Psi \,$ נקבל: $c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi ,\,$ בגלל הרציפות בפונקציית הגל אין צורך לסמן את פונקציית הגל בסימון G ו-L כיון שמתקיים: $\Psi _{L}=\Psi _{G}\,$ ב-$z=0$. עם זאת עדיין יש לסמן את הנגזרות של פונקציית הגל. פתרון: כעת ניתן לפתור באופן מלא את מערכת המשוואות. המשוואה $\left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{i}=0$ עם תנאי השפה ב-$\Psi \left(\pm \infty \right)\,$ מקבלת את הפתרון: $\Psi _{L}=A_{L}e^{\alpha z},\qquad \Psi _{G}=A_{G}e^{-\alpha z}.\,$ מתנאי השפה הראשון על פני הממשק$\Psi _{L}=\Psi _{G}\,$ ב-$z=0\,$ נקבל: $A_{L}=A_{G}=A$. תנאי השפה השלישי בממשק הוא:$c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi$, וממנו נקבל: $Ac^{2}\alpha \left(-\rho _{G}-\rho _{L}\right)=Ag\left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}A.\,$ המשרעת A מתבטלת משתי הצדדים ובסופו של דבר נקבל: $c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}.\,$ כדי להבין את המשמעות של המשוואה נתחיל במקרה בו אין מתח פנים: $c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}},\qquad \sigma =0,\,$ וכאן מתקבל באופן ברור ש: אם $\rho _{G}<\rho _{L}\,$, אז $c^{2}>0\,$ זו התוצאה שמתקבל כאשר הזורם הקל יותר נמצא למעלה. אם $\rho _{G}>\rho _{L}\,$ אז $c^{2}<0\,$ ו-c הוא מספר דימיוני. זו התוצאה המתקבלת כאשר הזורם הכבד נמצא למעלה. במקרה השני מתקיים: $c=\pm i{\sqrt {\frac {g{\mathcal {A}}}{\alpha }}},\qquad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{G}-\rho _{L}}{\rho _{G}+\rho _{L}}},\,$ כאשר ${\mathcal {A}}\,$ הורא מספר אטווד. אם לוקחים את הענף החיובי של הפרון הזה נקבל: $\Psi \left(x,z,t\right)=Ae^{-\alpha |z|}\exp \left[i\alpha \left(x-ct\right)\right]=A\exp \left(\alpha {\sqrt {\frac {g{\tilde {\mathcal {A}}}}{\alpha }}}t\right)\exp \left(i\alpha x-\alpha |z|\right)\,$ והמיקום של הממשק מתקבל לפי תנאי השפה $c\eta =\Psi$ כעת נגדיר $B=A/c$ ונקבל שההתפתחות הראשונית של הממשק החופשי $z=\eta (x,t),\,$ בתחילה ב $\eta (x,0)=\Re \left\{B\,\exp \left(i\alpha x\right)\right\},\,$ ניתנת ע"י: $\eta =\Re \left\{B\,\exp \left({\sqrt {{\mathcal {A}}g\alpha }}\,t\right)\exp \left(i\alpha x\right)\right\}\,$ שגדל באופן אקספוננציאלי בזמן. כאן B היא המשרעת של ההפרעה הראשונית, ו $\Re \left\{\cdot \right\}\,$ מציין את החלק האמיתי של הביטוי בסוגריים.

אם במצב הראשוני יש מהירות יחסית בין שתי שכבות הזורם, אי היציבות מוכללת לאי-יציבות קלווין-הלמהולץ-ריילי-טיילור, שהיא אי יציבות כללית הכוללת את אי-יציבות קלווין-הלמהולץ ואת אי-יציבות ריילי-טיילור כמקרים פרטיים.

הסבר באמצעות ערבוליות

הסבר להתפתחות אי יציבות ת ריילי-טיילור באמצעות הערבוליות. גראדיאנט הלחצים מכוון תמיד כלפי מטה, ביחד עם הכבידה. במקרה השמאלי, הזורם העליון כבד יותר, וגראדיאנט הצפיפויות מכוון לתוך ההפרעה. במצב זה הערבוליות (מעגל סגול מקווקו) על שפת ההפרעה תפעל בכיוון שמגדיל את ההפרעה. במקרה הימני, הזורם העליון קל יותר והערבוליות תגדל באופן שמקטין את ההפרעה.

ניתן להסביר את אי-יציבות ריילי-טיילור כנגרמת ממומנט שנוצר ממשוואת הערבוליות הדו-ממדית: ${\frac {D\omega }{Dt}}={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p$. כאשר ω היא הערבוליות, ρ הצפיפות ו-p הוא הלחץ. הלחץ עולה עם כיוון התאוצה (במקרה של כוח הכבידה, הלחץ יהיה גבוה יותר כככל שמתקדמים למטה כתוצאה מלחץ הידרוסטטי).

בתצורה הלא יציבה, עבור רכיב הרמוני מסוים של ההפרעה הראשונית, המומנט בממשק יוצר מערבולת שתטה להגביר את אי היציבות (בתמונה משמאל) . כאשר אי היציבות מתגברת, המערבולת מתחזקת, ומגבירה עוד את אי היציבות. בתצורה היציבה, המערבולת, ובכך שדה המהירות המושרה, יהיו בכיוון שמקטין את חוסר היישור בממשק ולכן מייצב את המערכת.

התנהגות בזמן מאוחר

הניתוח בסעיף הקודם מתקלקל כאשר משרעת ההפרעה גדולה. לאחר מכן הצמיחה הופכת לא ליניארית כאשר הטריזים והבועות של סבך אי היציבות מסתבכים ומתגלגלים למערבולות. לאחר מכן, כמו באיור, נדרשת הדמיה נומרית של הבעיה המלאה כדי לתאר את המערכת.

ראה גם

• אי-יציבות סאפמן-טיילור
• אי-יציבות ריכטמייר-משקוב
• אי-יציבות קלווין-הלמהולץ
• ענן פטרייה
• אי-יציבות פליטו-ריילי
• אי-יציבות הידרודינמית
• שדרת הערבולים של פון קרמן