נוסחת סטירלינג

עבור $\ x$ גדול, $\ \ln(x!)$ מתקרב ל $\ x\ln(x)-x$

נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של $\ n!$ (במילים: $\,n$ עצרת) עבור ערכים גדולים של $\ n$. הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.

נוסחת סטירלינג קובעת ש-

$\ n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול $\ n\to \infty$ היחס שואף לאחד:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$.

כתוצאה מכך, $\ln(n!)\approx n\ln(n)-n$.

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: $\ \Gamma (n+1)=n!$.

משפט: קיימת פונקציה ממשית $\eta :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ המקיימת: $\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}\,x^{x-1/2}e^{-x}e^{\eta (x)}\qquad 0<\eta (x)<{\frac {1}{12x}}$ עבור $\ n$-ים גדולים $e^{\eta (n)}\approx 1$ ולכן $\Gamma (n)=(n-1)!\approx {\sqrt {2\pi }}n^{n-1/2}e^{-n}$. כפל של שני האגפים ב-$\ n$ ייתן את הנוסחה ל-$\ n!$.

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.