נוסחת סטירלינג

עבור $x$ גדול, $\ \ln(x!)$ מתקרב ל $x\ln(x)-x$

נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של $n!$ (במילים: $n$ עצרת) עבור ערכים גדולים של $n$. הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.

נוסחת סטירלינג קובעת ש-

$\ n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול $n\to \infty$ היחס שואף לאחד:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$.

כתוצאה מכך, $\ln(n!)\approx n\ln(n)-n$.

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: $\Gamma (n+1)=n!$.

משפט: קיימת פונקציה ממשית $\eta :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ המקיימת: $\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}\,x^{x-1/2}e^{-x}e^{\eta (x)}\qquad 0<\eta (x)<{\frac {1}{12x}}$ עבור $\ n$-ים גדולים $e^{\eta (n)}\approx 1$ ולכן $\Gamma (n)=(n-1)!\approx {\sqrt {2\pi }}n^{n-1/2}e^{-n}$. כפל של שני האגפים ב-$\ n$ ייתן את הנוסחה ל-$n!$.

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נוסחת סטירלינג בוויקישיתוף

• נוסחת סטירלינג, באתר MathWorld (באנגלית)
• נוסחת סטירלינג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.