נוסחת סטירלינג

עבור $x$ גדול, $\ \ln(x!)$ מתקרב ל $x\ln(x)-x$

נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של $n!$ (במילים: $n$ עצרת) עבור ערכים גדולים של $n$. הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.

נוסחת סטירלינג קובעת ש-

$\ n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול $n\to \infty$ היחס שואף לאחד:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$.

כתוצאה מכך (כפי שיפורט להלן), $\ln(n!)\approx n\ln(n)-n$.

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: $\Gamma (n+1)=n!$.

משפט: קיימת פונקציה ממשית $\eta :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ המקיימת: $\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}\,x^{x-1/2}e^{-x}e^{\eta (x)}\qquad 0<\eta (x)<{\frac {1}{12x}}$ עבור $\ n$-ים גדולים $e^{\eta (n)}\approx 1$ ולכן $\Gamma (n)=(n-1)!\approx {\sqrt {2\pi }}n^{n-1/2}e^{-n}$. כפל של שני האגפים ב-$\ n$ ייתן את הנוסחה ל-$n!$.

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

הוכחה אסימפטוטית למשפט עוברת דרך ההוכחה ש $\ln(n!)\approx n\ln(n)-n$.

נפתח את הביטוי ln(n!):

$\ln(n!)=ln(\prod _{i=1}^{n}i)=\sum _{i=1}^{n}ln(i)\approx \int _{1}^{n}ln(i)=nln(n)-n+1$

הסבר: את המעבר מצד שמאל של המשוואה עשינו בעזרת הגדרת העצרת. את השוויון השני קיבלנו בעזרת חוקי הלוגריתמים. את הקירוב קיבלנו בעזרת סכום דרבו עליון. כל המעברים האלה נכונים מבחינה מתמטית גם עבור $\lim _{n\to \infty }ln(n!)$ ולכן $ln(n!)\in \Theta (nln(n))$.

מצד שני:

$ln(n^{n}/e^{n})=ln((n/e)^{n})=nln(n/e)=n(ln(n)-ln(e))=nln(n)-n$.

ההפרש בין האינטגרל במשוואה לסכום שמשמאלו הוא קבוע התלוי ב-n וניתן למצוא אותו באמצעות קירוב אוילר מקלורן.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נוסחת סטירלינג בוויקישיתוף

• נוסחת סטירלינג, באתר MathWorld (באנגלית)
• נוסחת סטירלינג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.