נקע (הנדסה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
נקעים בסיליקון, במישור 100.
תצלום במיקרוסקופ אלקטרונים חודר (TEM) של נקעים בפלדה. הנקעים הינם הקווים הכהים על הרקע הבהיר במרכז התמונה.

בהנדסת חומרים, נקע (Dislocation) הוא סוג של פגם במבנה הגבישי של חומר. קיום הנקעים מהווה פתרון לבעיות שלא ניתן להן מענה על ידי המבנה הגבישי המושלם בחומר. כך למשל, ניתן להסביר את תהליך הדפורמציה הפלסטית בעזרת תנועת נקעים בתוך החומר, וכן הולכה חשמלית. תכונות אלה תלויות גם בצפיפות הנקעים בגביש הנעה בין 10^2\thicksim10^{12}cm^{-2}[1]. השפעת הנקעים על אלסטיות החומר פותחה בשנת 1905 על ידי ויטו וולטרה, ותנועת הנקעים בסדר גודל האטומי הוסברה על ידי סר ג'פרי טיילור בשנת 1934.

כישלון המבנה הגבישי המושלם[עריכת קוד מקור | עריכה]

המבנה הגבישי מתאר היטב את מבנה החומר, אולם תופעות אמפיריות שונות אינן עולות בקנה אחד עם התוצאות החזויות בעזרת המודל המושלם.

אלסטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי התורה האלסטית, חומר הנתון תחת כוח משני קצותיו יעבור עיוות, אשר נתון ביחס ישר לכוח המופעל באופן הבא

Y{\operatorname{\delta}\!L\over\operatorname{}\!L}=\frac{F}{A}

כאשר A ו-L הינם שטח הפאה ואורכו של החומר, F הכוח המופעל ו-Y מודול יאנג. בעזרת נוסחה זו ניתן להסיק על הכוח הדרוש לעיוות מסויים, אולם מדידות על חומרים הניבו ערכים קטנים מאלו התיאורטיים עד כי בחלק מהחומרים השוני מגיע לסדר גודל של פי 10^4. השוואה בין מדידות נבחרות לערכן התיאורטי ניתן לראות בטבלה 1. במציאות, הכוח שיש להפעיל כדי לצור עיוות בחומר קטן משמעותית מהכוח התיאורטי - עובדה זו ניתנת להסבר על ידי קיומם של נקעים, המאפשרים עיוות של החומר על ידי תנועתם.

טבלה 1 - הכוח הדרוש לעיוות חומר ב-20%.[2]
חומר מודול יאנג Y/5

10^{11} erg\cdot cm^{-3}

כוח תיאורטי

10^{11} erg\cdot cm^{-3}

כוח מדוד

10^{11} erg\cdot cm^{-3}

יחס
ברזל 4.0 4 0.03 0.008
טיטניום 2.2 3.1 0.03 0.009
סיליקון 3.2 1.5 0.07 0.05
זכוכית 1.4 4 0.04 0.01

אי סדר גבישי בשני מימדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדר ארוך טווח של המבנה הגבישי אינו מתקיים בחומרים דו מימדיים, כיוון שהוא מופר על ידי פלקטואציות תרמיות של האטומים. נגדיר את סטיית המיקום של כל נקודה בגביש על ידי השדה הווקטורי u(\vec{r}) כך שווקטור המיקום ינתן כך \vec{r}+\vec u(\vec{r}).

מכאן שהאנרגיה הפוטנציאלית של גביש דו מימדי הינה

U=\int d^2rC\underset{\alpha \beta}{\sum}{\partial u_\alpha\over\partial r_\beta}{\partial u_\alpha\over\partial r_\beta}

C הינו קבוע בעל מימדים של אנרגיה ליחידת שטח.

על ידי התמרת פורייה של השדה הווקטורי u(\vec{r}), האנרגיה הפוטנציאלית תנתן כך

U=\int d^2r\frac{C}{2}\underset{\alpha \beta \vec{k}\vec{ k'}}{\sum}k_\beta k'_\beta e^{i(\vec{k'}-\vec{ k})\vec{r}} u_\alpha(\vec{ k}) u^*_\alpha(\vec{ k'})=
\frac{VC}{2}\underset{\alpha \vec{k}}{\sum}k^2\left \vert u_\alpha(\vec{k}) \right \vert ^2

במעבר האחרון נעשה שימוש בהתמרת פורייה של פונקציית דלתא, כאשר V הנפח הדו מימדי של המערכת.

בעזרת האנרגיה הפוטנציאלית ניתן לחשב את השונות בסטיית המיקום, כלומר השונות של השדה הווקטורי \vec u(\vec{r}):

\langle u^2\rangle=\underset{\beta \vec{k}}{\sum}\langle\left \vert u_\beta(\vec{k})\right \vert ^2 \rangle

המיצוע התרמי יתבצע בסכימה על כל ערכי k עם התפלגות בולצמן, והאנרגיה הפוטנציאלית שחושבה מעלה.

\langle\left \vert u_\beta(\vec{k})\right \vert ^2 \rangle = \frac{K_BT}{VCk^2}

בעזרת ביטוי זה נוכל לחשב את השונות

\langle u^2\rangle=\underset{\alpha \vec{k}}{\sum}\frac{K_BT}{VCk^2}=2\int \frac{d^2k}{(2\pi)^2}\frac{K_BT}{Ck^2}

במעבר האחרון נעשה שימוש בפונקציית צפיפות המצבים במרחב התנע עבור גוף דו מימדי.

השדה הווקטורי \vec u(\vec{r}) מתאר תנודות הגדולות ממרחק כלשהו D אשר גדול מהמרחק הבין-אטומי. לכן מתקיים התנאי \vec u(\vec{k})=0 עבור k>\frac{1}{D}.

מכאן שהשונות תסתכם כך

\langle u^2\rangle=2\int\limits_{0}^{\frac{1}{D}} \frac{dk}{2\pi k}\frac{K_BT}{C}\rightarrow \infty

האינטגרל מתבדר עבור k קטן, בתחום בו התורה האלסטית אמורה לשרת היטב. המשמעות היא שהסדר הגבישי אינו יכול להתקיים על פני סקאלות אורך גדולות.

כתוצאה מכך רק איזורים קטנים בחומר הינם בעלי סדר גבישי והם נפרדים זה מזה. ההפרדה תתקיים על ידי נקעים שיפרו את הסדר הגבישי.

המבנה הגיאומטרי של נקעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להבין את הגאומטריה של נקע, נשתמש במודל התלת-ממדי של המבנה המסודר של גביש, כאשר האטומים מיוצגים בעזרת כדורים. עבור נקע המצוי בסריג הגבישי, מוגדר ווקטור בורגרס - \vec{b} - המייצג את הנקע, ומציין את כיוון וגודל התקדמותו בחומר. בנוסף, מוגדר ווקטור קו הנקע \vec{t}, המקביל לציר הנקע ומפריד בין

איור 1 איור סכימטי של נקע קצה במישורי הגביש. וקטור קו הנקע מסומן בכחול וכיוונו לפנים האיור, ווקטור בורגרס האנכי לו מסומן בשחור.

האיזור של הגביש בו הסריג מושלם לבין האיזור המושפע על ידי הנקע. על מנת למצוא את ווקטור בורגרס, יש להתבסס על כלל יד ימין כאשר ווקטור קו הנקע משמש כציר, ולסגור סביבו לולאה בעלת מספר קבוע של אתרי סריג בכל אחת מצלעותיה (איור 3). על הלולאה להשתרע רחוק מספיק מווקטור קו הנקע כך שהאטומים אותם היא מחברת נתונים בדפוס הסריג המושלם. עבור סריג אידיאלי ללא נקעים, נקודות ההתחלה והסיום של הלולאה יהיו באותו אתר סריג. אך אם הלולאה מקיפה נקע, יהיה הפרש בין נקודות ההתחלה והסיום של הלולאה. הפרש זה וכיוונו מהווים את ווקטור בורגרס.

בתוך כך מבדילים בין שני סוגים עיקריים של נקעים, אשר מהווים בסיס שלם וכל פגם מורכב מסוג יחיד או שניהם.

איור 2 איור סכימטי של נקע בורג במישורי הגביש. ווקטור קו הנקע ווקטור בורגרס מקבילים זה לזה ואנכיים למישורי הגביש.

נקע קצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקע קצה (באנגלית Edge dislocation) ניתן לתיאור על ידי הוספת חצי מישור עודף של אטומים לתוך מבנה הגביש, כאשר הוא גורם לעיוות מקומי של המישורים האטומיים מסביבו (איור 1). מכיוון שבאיזור הנקע יש עודף מישורי גביש, מתקיים לחץ רב באיזור זה. במקרה של הפעלת לחץ חיצוני, המישור העודף יתקדם דרך מישורי הגביש, כאשר הוא יוצר ומנתק קשרים עם מישורים אלה, עד שיגיע לגבול החיצוני של החומר. עבור נקע קצה וקטור בורגרס מאונך לוקטור קו הנקע (\vec{b}\perp\vec{t}) כפי שמוצג באיורים 1 ו-3.

נקע בורג[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקע בורג (Screw dislocation) מוגדר כאשר באיזור שמעבר לוקטור קו הנקע חלה החלקה של אתרי הסריג בצדו האחד של מישור המקביל לווקטור קו הנקע, ביחס לאתרי הסריג שנמצאים מעבר למישור זה. צורה נוספת לחשוב על כך הינה הוספת מישור של אתרי סריג מעל לחלק מהאתרים הקיימים (איור 2). באופן זה הלולאה הדמיונית מתחילה ומסתיימת בשני מישורים שונים ומכאן "צורת הבורג". במקרה זה ווקטור בורגרס מקביל לווקטור קו הנקע (\vec{b}\parallel\vec{t}) כפי שניתן לראות באיור 3.

איור 3 בחלק העליון סריג ובו נקע קצה אל מול סריג מושלם. וקטור בורגרס מסומן, וכן ווקטור קו הנקע בצורת T, וכיוונו אל פנים מישור התמונה. בחלק התחתון סריג ובו נקע בורג אל מול סריג מושלם. ווקטור בורגרס ווקטור קו הנקע מקבילים זה לזה.

תנועת נקעים בחומר[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעת הפעלת כוח חיצוני, נשברים הקשרים בין האטומים המקיפים את הנקע לשכניהם הקרובים בגביש, ונוצרת אינטראקציה בינם לבין אטומים במישור סמוך. באופן זה הנקע מתקדם לאורך הגביש. הכוח הדרוש לשבירת הקשרים של אטום יחיד נמוך מזה הדרוש לשבירת הקשרים של סריג שלם, ולכן תנועת הנקעים הינה הסיבה לכוח הנמוך הדרוש לעיוות החומר. תנועת הנקעים בחומר מתבצעת תוך החלקה של חלק מן הגביש ביחס לחלק אחר לאורך מישור הנקרא מישור ההחלקה. במקרה של נקע קצה מישור ההחלקה מאונך למישור העודף ומכיל את וקטור קו הנקע ווקטור בורגרס, וכיוון ההחלקה הינו במקביל לווקטור בורגרס. במקרה של נקע בורג כיוון ההחלקה מאונך לווקטורי בורגרס וקו הנקע, ומישור ההחלקה נפרש על ידי כיוון ההחלקה ווקטור בורגרס[3]. בעת עיוות הגביש, הנקעים נעים לאורכו ואף גדלים תוך השפעת הכוח כך שיתכנו מרווחים גדולים של אתרי סריג ללא אטומים בגביש.

כאמור, התורה האלסטית של החומר והכוח הדרוש לעיוותו מתוקנים על ידי קיומם של נקעים. בעוד שתיאורטית דרוש כוח רב כדי לעוות חומר בעל מבנה גבישי מושלם, בפועל דרוש כוח קטן יותר כדי לעוות את החומר - הכוח הדרוש להזזת הנקעים.

בכדי למצוא כוח זה, נניח מודל של סריג חד מימדי - שרשרת של מסות זהות המחוברות בקפיצים בעלי קבוע קפיץ k והנתונות בפוטנציאל פרבולי מחזורי בעל קבוע קפיץ \Kappa (איור 4). על השרשרת מופעל כוח חיצוני f כך שהפוטנציאל הפרבולי המחזורי הינו

U(x)=\frac {1}{2}\Kappa\left [ x-a\cdot int(x/a) \right ]^2-fx

a הינו המרחק בין המסות בעת שיווי משקל. הכוח הפועל על המסה n הינו

f_n=k\left [ x_{n+1}-x_n-a \right ]+k\left [ x_{n-1}-x_n+a \right ]-{\operatorname{d}\!U\over\operatorname{d}\!x}

כעת בהינתן נקע בחומר, אחת המסות חסרה. ללא הגבלת הכלליות ניתן להניח כי בור הפוטנציאל במיקום n=0 ריק, כך שהמסה 0 נתונה בבור -a והמסה 1 נתונה בבור a. מכאן שהכוח על מסה n הינו

f_n=k\left [ x_{n+1}-x_n-a \right ]+k\left [ x_{n-1}-x_n+a \right ]+f-\Kappa\left [ x_{n}-a(n-1) \right ] ; n\leq0

f_n=k\left [ x_{n+1}-x_n-a \right ]+k\left [ x_{n-1}-x_n+a \right ]+f-\Kappa\left [ x_{n}-na \right ] ; n>0

בשיווי משקל הכוח השקול מתאפס כך שהפתרונות לשתי המשוואות הינם

x_n=\frac{f}{\Kappa}+a(n-1)+A_le^{qn} ; n\leq 0

x_n=\frac{f}{\Kappa}+an+A_re^{-qn} ; n>0

על ידי הצבת הפתרונות במשוואות הכוחות, וכן השוואת שני הפתרונות עבור המיקומים n=0,1 נקבל

איור 4 מערך חד מימדי של מסות המחוברות בקפיצים, הנתונות תחת פוטנציאל מחזורי חיצוני המשורטט מתחתיהן. המסה במיקום 0 חסרה, כך שקיים נקע במערך.

\frac{\Kappa}{k}=e^q+e^{-q}-2

A_l=\frac {a}{e^q+1}

A_r=\frac {-a}{e^{-q}+1}

כאשר הכוח החיצוני המופעל גדול מספיק, מסה 0 הנתונה בשיווי משקל במיקום -a תתגבר על בור הפוטנציאל ותנוע מעבר למיקום -\frac{a}{2} כך שהנקע, כלומר בור הפוטנציאל הריק, ינוע בכיוון זה גם הוא.

כוח קריטי זה יחושב על ידי הפתרון עבור n\leq0

x_0=-\frac{a}{2}=\frac{f_c}{\Kappa}-a+A_l

f_c=\frac{a\Kappa}{2}tanh(\frac{q}{2})

הכוח המקסימלי הדרוש להזזת המסות ממקומן אל בור הפוטנציאל הסמוך הינו \frac{a\Kappa}{2} בין אם קיימים נקעים או לאו. קיום הנקעים מוביל לפונקציית ה-tanh(\frac{q}{2}) וכך מקטין את הכוח הדרוש לעיוות הגביש.

פיתוח זה מלמד על ההבדלים בין הכוח המדוד לבין זה התיאורטי שהוצגו בסעיף 1.1.

אנרגיה של נקעים ותנאים להיווצרם[עריכת קוד מקור | עריכה]

האנרגיה הפוטנציאלית הדרושה ליצירת נקעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכדי למצוא את האנרגיה הדרושה ליצירת נקע נתייחס לגביש תלת מימדי ובו נקע בורג שנקבע כראשית הצירים. וקטור קו הנקע מקביל לציר \widehat{z} ולכן סטיית המיקום גם היא בכיוון זה \bigl(\vec u(\vec{r})=u_z(x,y)\bigr). נתייחס אל תורת האלסטיות הליניארית עבורה סטיית המיקום רציפה בכל המרחב מלבד בסביבת הנקע.

האנרגיה הפוטנציאלית הינה אם כך

U=\frac{a\mu}{2}\int d^2r(\nabla u)^2

a הינו קבוע בעל יחידת אורך שנבחר להיות אורך וקטור בורגרס של הנקע (שאורכו כקבוע הסריג) ו-μ קבוע לאמה. בשיווי משקל סטיית המיקום מקיימת את משוואת לפלס \nabla ^2 u=0, ולכן הפתרון שיבחר הינו פונקציה אנליטית מרוכבת, בעלת אי רציפות בעת הקפה סביב מרכז הנקע. אי רציפות זו מייצגת את ווקטור בורגרס.

u_z(x,y)=\frac {a}{2\pi}Im\{ln(x+iy)\}

פתרון זה מקיים קפיצה באורך וקטור בורגרס בעת הקפה סביב הראשית כדרוש. הצבה של פתרון זה בביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית תניב

U=\frac{a^3\mu}{8\pi ^2}\int\limits_{a}^{R} dr2\pi r\frac{1}{r^2}=\frac{a^3\mu}{4\pi}ln\bigl(\frac{R}{a}\bigr)+w

האינטגרל מתבצע בין סביבת הנקע - מרחק וקטור בורגרס מהראשית - ובין גבול הגביש R. האיבר w מייצג את אנרגיית מרכז הנקע אשר לא ניתנת לחישוב באינטגרל מפאת התבדרות בראשית.

זו, אם כך, האנרגיה הדרושה לשם יצירת נקע בורג יחיד. בהנתן שני נקעים הממוקמים במרחק x_0 זה מזה ובעלי ווקטורי בורגרס זהים בגודלם אך הפוכים בכיוונם הפתרון עבור סטיית המיקום ינתן כך

u_z(x,y)=\frac {a}{2\pi}Im\{ln(x+iy)-ln(x-x_0+iy)\}

והאנרגיה המתקבלת, על פי חישוב זהה לזה שנעשה עבור נקע יחיד:

U=\frac{a^3\mu}{2\pi}ln\bigl(\frac{x_0}{a}\bigr)+2w

מתן אנרגיה, כמו הפעלת כוח או אנרגיית חום, מביא ליצירת נקעים בגביש בהתאם לביטויים הנ"ל.

טמפרטורה קריטית ליצירת נקעים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לראות כי האנרגיה של נקע יחיד מתבדרת עבור גביש גדול מאוד \bigl(R\gg1\bigr), אך יחד עם זאת קיומם של נקעים מתאפשר מתוך שיקולי אנטרופיה והאנרגיה החופשית של המערכת.

בהנחה כי בריבוע באורך צלע R וקבוע סריג a יש \frac {R^2}{a^2} אתרים למיקום מרכז הנקע, האנטרופיה הינה

S=2k_Bln\bigl(\frac {R}{a}\bigr)

הצבה של האנטרופיה והאנרגיה של נקע יחיד בביטוי לאנרגיה החופשית של המערכת תניב

F=U-TS=\bigl(\frac{a^3\mu}{4\pi}-2k_BT\bigr)ln\bigl(\frac{R}{a}\bigr)

בטמפרטורה הקריטית האנרגיה החופשית מתאפסת. מכאן שהטמפרטורה הקריטית הינה

T_c=\frac{a^3\mu}{8\pi k_B}

בטמפרטורה הגבוהה מטמפרטורה זו יווצר נקע, והסדר הגבישי יופר כצפוי. על כן כשחומר נחשף לטמפרטורה גבוהה יוווצרו בו נקעים רבים שיובילו לעיוות וכך גם למעבר פאזה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Neil W. Ashcroft N. David Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976
  2. ^ Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, John Wiley & Sons, Inc, 2000
  3. ^ Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc, 2005