עץ פורש מינימלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Minimum spanning tree.svg

עץ פורש מינימלי (אנגלית: Minimum spanning tree) הוא עץ המורכב מתת-קבוצה של קשתות בגרף נתון ומקיים את התכונות:

  1. פורש את הגרף - כלומר, כולל את כל הצמתים בגרף.
  2. מינימלי (או: מזערי) בסכום משקלי הקשתות שלו, שהוא הקטן ביותר האפשרי מכל העצים הפורשים של הגרף.

בכתיב פורמלי: אם משקל הקשת \ (u,v) הוא  w(u,v) ועבור עץ T יהי משקלו w(T) = \sum_{(u,v)\in T} w(u,v), העץ הפורש המינימלי הוא זה בעל w\left(T\right) הקטן ביותר.

המחשה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חברת טלוויזיה בכבלים מניחה תשתית כבלים בשכונה כלשהי. אם החברה מוגבלת בכך שעליה להניח את הכבלים אך ורק לאורך מסלולים מסוימים, אזי יהיה גרף אשר מייצג את הנקודות המחוברות במסלולים אלו. חלק מן הקווים יכולים להיות יקרים יותר, מכיוון שהמרחק גדול יותר, או שיש צורך לקבור את הכבל עמוק יותר באזור זה.

עץ פורש בשביל גרף זה הוא קבוצה חלקית הכוללת רק את המסלולים שאינם סגורים במעגל, ועדיין כל בית יהיה מחובר. ייתכנו מספר עצים פורשים לגרף אחד. עץ פורש מזערי הוא עץ פורש בעל המשקל הכולל הנמוך ביותר. אם יש קשתות שמשקלן שווה, הרי שיכולים להיות מספר עצים פורשים מזעריים שונים.

התפתחות האלגוריתם[עריכת קוד מקור | עריכה]

האלגוריתם הראשון למציאת עץ פורש מזערי בגרף לא מכוון הומצא בידי המדען הצ'כי אוטקר בוהרובקה ב-1926. מטרתו הייתה מציאת כיסוי חשמלי יעיל של חבל מורביה. כיום משתמשים בשני אלגוריתמים ידועים לגרף לא מכוון: האלגוריתם של פרים והאלגוריתם של קרוסקל. שניהם אלגוריתמים חמדניים. שניהם רצים בזמן פולינומי, כך שמציאת פתרונות לבעיות כאלו, הם בתחום הסיבוכיות של P. זמן הריצה המדויק שלהם תלוי במבני הנתונים בהם משתמשים (לדוגמה ערימת פיבונאצ'י).

הניסיון למצוא את האלגוריתם המהיר ביותר לפתרון בעיה זו הוא מהוותיקים ביותר בתחום מדעי המחשב. אם משקלי הקשתות הם מספרים שלמים המוגבלים במספר הביטים המייצגים אותם, אזי ידועים אלגוריתמים מוחלטים (דטרמיניסטיים - שאינם פועלים באקראיות) עם זמן ריצה לינארי \ O(m). עבור משקלים כלליים, ידועים אלגוריתמים אקראיים הרצים בזמן שתוחלתו לינארית במספר הקשתות.

האלגוריתם המהיר ביותר עד היום, לעץ פורש מינימלי, פותח על ידי ברנרד שאזל, ומבוסס על האלגוריתם של בוהרובקה. זמן הריצה שלו הוא: \ O(m \alpha (m,n)) כש-\ m מסמן את מספר הקשתות, \ n מסמן את מספר הצמתים ו- \alpha(m,n) = \min\{i \geq 1 : A(i,\lfloor m/n \rfloor) \geq \log_2 n\} היא פונקציית אקרמן ההפוכה. קיומו של אלגוריתם דטרמיניסטי למשקלים כלליים, בעל זמן ריצה לינארי עדיין נותר בגדר שאלה פתוחה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]