פולינום ציקלוטומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, , שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: , כאשר עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: . באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו-

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל . מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית .

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- [1].

כאשר מרחיבים את בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי , מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, . השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של מעל . הרחבת השדות היא מדרגה , וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ P. Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, p. 52