פונקציה הומוגנית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.

הגדרה מפורטת[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה , ויהי מספר שלם. אזי הפונקציה תיקרא הומוגנית מסדר אם לכל שונה מאפס, ולכל .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר כאשר הדרישה צריכה להתקיים רק עבור חיובי, ו- יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקות ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל העתקה ליניארית היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: לכל ולכל .

פולינומים הומוגניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מונום (חד-איבר) ב- משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית . לדוגמה שטח של ריבוע - - הוא מונום הומוגני מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם הוא פולינום הומוגני מסדר ו- הוא פולינום הומוגני מסדר , אזי היא פונקציה הומוגנית מסדר בכל הנקודות חוץ מבשורשים של .

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן נתון על ידי , ובעוד שמתקיים , קרי היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה חלקה אזי הומוגנית חיובית מסדר אם ורק אם:

.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

: תהי פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: . נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: .

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל , נציב ונקבל: .

: תהי פונקציה חלקה המקיימת לכל .

נבחר כלשהו ונגדיר: .

כעת: .

נציב: .

ונקבל: . לכן היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: לכן לכל מתקיים . כלומר [1]

תוצאה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה גזירה והומוגנית חיובית מסדר נקבל ש- היא הומוגנית מסדר . כלומר:

.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי . שכן על פי משפט אוילר:

.

נגזור לפי ונקבל:

.

ולכן:

. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ המשפט לא תקף עבור משום ש- לא מוגדרת בנקודה .